Завдання до розділу «Лінійна оптимізація»

1. Підприємство випускає продукцію чотирьох типів П₁-П₄, для виготовлення якої використовуються ресурси трьох видів: трудові, сировина і обладнання. Норми витрат кожного виду ресурсу на виготовлення одиниці кожного типу продукції наведені у табл. 7.

Таблиця 7

Ресурс	Тип продукції				Об’єм ресурсу
	П1	П2	П3	П4
Трудовий	1	1	1	1	16
Сировина	6	5	4	3	110
Обладнання	4	6	10	13	100

Прибуток, отриманий від реалізації одиниці продукції, дорівнює: для продукції П₁ – 60 у.о., для П₂ – 70 у.о., для П₃ – 120 у.о., для П₄ – 130 у.о. Визначити оптимальний план виробництва кожного типу продукції, що максимізує прибуток підприємства.

2. Магазин реалізує три типи продукції П₁, П₂, П₃. Для цього використовується два обмежених ресурси – корисна площа приміщень, яка з врахуванням коефіцієнта оберненості складає 450 м², і робочий час працівників магазину – 600 людино-годин. Товарообіг повинен бути не менше 240 000 у.о. Необхідно розробити план товарообігу, що приносить максимум прибутку.

Витрати ресурсів на реалізацію та отриманий прибуток представлені у табл.. 8.

Таблиця 8

Ресурси	Витрати ресурсів на реалізацію, тис. у.о.			Об’єм ресурсів
	П1	П2	П3
Корисна площа, м2	1,5	2	3	450
Робочий час, людино-годин	3	52	1,5	600
Прибуток, тис. у.о.	50	65	70

3. Двом навантажувачам різної потужності не більше, ніж за 24 години потрібно завантажити на першому майданчику 230 тон, на другому - 168 тон. Перший навантажувач на першому майданчику може вантажити 10 тон на годину, на другому – 12 тон на годину. Другий навантажувач на кожному майданчику може вантажити по 13 тон на годину. Вартість робіт, пов’язаних із навантаженням однієї тони першим навантажувачем на першому майданчику – 8 у.о., на другому – 7 у.о., другим навантажувачем на першому майданчику – 12 у.о., на другому – 13 у.о. Потрібно скласти план роботи, тобто знайти, який об’єм робіт повинен виконати кожен навантажувач на кожному майданчику, щоб вартість всіх робіт при навантаженні була мінімальною. Слід врахувати, що по технічних причинах перший навантажувач на другому майданчику повинен працювати не більше 16 годин.

4. Цех випускає два види продукції П₁ та П₂,, використовуючи два типи напівфабрикатів. Продукція використовується при комплектуванні виробів, при цьому на кожну одиницю продукції першого виду потрібно не більше двох одиниць продукції другого виду. Норми витрат напівфабрикатів кожного типу на одиницю продукції, загальні об’єми напівфабрикатів та прибуток від реалізації одиниці продукції кожного виду наведені у табл. 9. Скласти план виробництва, що приносить максимум прибутку.

Таблиця 9

Напівфабрикати	Витрати ресурсів на реалізацію, тис. у.о.		Об’єм напівфабрикатів
	П1	П2
1	1	2	800
2	6	2	2400
Прибуток, у.о.	10	35

5. Спеціалізація і технологічні можливості дозволяють підприємству випускати чотири види продукції П₁, П₂, П₃ і П₄ Збут будь-якої кількості продукції забезпечений. Для виготовлення продукції використовуються трудові ресурси, напівфабрикати і верстатне устаткування. Об’єм ресурсів, витрати кожного ресурсу на одиницю продукції і прибуток, отриманий за одиницю продукції, наведені у табл. 10. Скласти план виробництва, що приносить максимум прибутку.

Таблиця 10

Ресурси	Витрати ресурсів на одиницю продукції				Об’єм ресурсів
	П1	П2	П3	П4
Трудові ресурси, людино-годин	4	2	2	8	4800
Напівфабрикати, кг	2	10	6	0	2400
Верстатне устаткування, верстато-годин	1	0	2	1	1500
Прибуток на одиницю продукції, у.о.	65	70	60	120

6. Підприємство випускає два види продукції П₁ і П₂ Збут будь-якої кількості продукції забезпечений. Для виготовлення продукції використовуються трудові ресурси, сировина і устаткування. Об’єм ресурсів, витрати кожного ресурсу на одиницю продукції і прибуток, отриманий за одиницю продукції, наведені у табл. 11. Скласти план виробництва, що приносить максимум прибутку.

Таблиця 11

Ресурси	Витрати ресурсів на одиницю продукції		Об’єм ресурсів
	П1	П2
Трудові ресурси	2	4	2000
Сировина	4	1	1400
Устаткування	2	1	800
Прибуток на одиницю продукції	40	60

7. Необхідно скласти дієту, що складається з двох продуктів А і В. Денне споживання цих продуктів повинно давати не більше 14 одиниць жиру, але не менше, ніж 300 калорій. В одному кілограмі продукту А міститься 15 одиниць жиру і 150 калорій, а в одному кілограмі продукту В – 4 одиниці жиру і 200 калорій. При цьому ціна одного кілограму продукту А дорівнює 15 у.о., а ціна одного кілограму продукту В – 25 у.о. Яку кількість продуктів на день потрібно споживати для дотримання дієти, щоб вкладені кошти були мінімальними.

8. Для випуску чотирьох видів продукції П₁, П₂, П₃ і П₄ на підприємстві використовують три типи сировини С₁, С₂, і С₃. Об’єм сировини, норми витрати сировини на одиницю продукції і прибуток, отриманий за одиницю продукції, наведені у табл. 12. Скласти план виробництва, що приносить максимум прибутку.

Таблиця 12

Сировина	Витрати сировини на одиницю продукції				Запаси сировини
	П1	П2	П3	П4
С1	4	2	2	3	35
С2	1	1	2	3	30
С3	3	1	2	1	40
Прибуток на одиницю продукції	14	10	14	11

9. Фабрика випускає три види тканин, при цьому добове планове завдання становить не менше 90 м тканин першого виду, 70 м – другого та 60 м – третього. Добові ресурси такі: 780 одиниць виробничого обладнання, 850 одиниць сировини і 790 одиниць електроенергії, витрати яких на один метр тканин показані у табл. 13.

Таблиця 13

Ресурси	Витрати сировини на один метр тканин
	Т1	Т2	Т3
Устаткування	2	3	4
Сировина	1	4	5
Електроенергія	3	4	2

Ціна одного метра тканини першого виду дорівнює 80 у.о., другого – 70 у.о., третього – 60 у.о. Визначити, скільки метрів тканини кожного виду слід випустити, щоб загальна вартість продукції була максимальною.

10. Фірма випускає два види деревно-стружкових плит – звичайні і поліпшені. При цьому виконуються дві основні операції – пресування та обробка. Яку кількість плит кожного виду можна виготовити на протязі місяця, щоб забезпечити максимальний прибуток при заданих (табл. 14) обмеженнях на ресурси (матеріал, час, витрати).

Таблиця 14

Ресурси	Витрати ресурсів на партію з 100 плит		Об’єм ресурсів
	звичайних	поліпшених
Матеріал (кг)	20	40	4000
Час на пресування (години)	4	6	900
Час на обробку (години)	4	4	600
Витрати (у.о.)	30	50	6000
Прибуток партію з 100 плит (у.о.)	15	25

11. Фірма виробляє два види продукції: столи та стільці. Для виготовлення одного стільця потрібно використати 3 кг деревини та витратити дві години робочого часу, а для виготовлення одного стола – 7 кг і 8 годин часу. Кожен стілець приносить прибуток 1 у.о., а стіл – 3 у.о. Скільки стільців і столів повинна виготовити фірма, якщо вона має в своєму розпорядженні 420 кг деревини і 400 годин робочого часу на тиждень, для отримання максимального прибутку?

12. Для виготовлення виробів типу А і В завод може виділити не більше, ніж 80 кг металу. Деталей типу А завод може виготовити за добу не більше 30 шт., типу В – не більше 40 шт. Ціна одного виробу типу А становить 3 у.о., типу В – 5 у.о. Для виготовлення однієї деталі типу А використовується 2 кг металу, типу В – 1 кг. Скласти план виробництва, що приносить максимум прибутку.