Нелінійне програмування

Задача нелінійного програмування формулюється подібно до задачі лінійного програмування з врахуванням того, що цільова функція або/та обмеження є нелінійними. Задачі нелінійного програмування є складнішими за лінійні задачі, включають цілочисельні задачі і задачі дискретного програмування. Інструмент Поиск решения полегшує вирішення задач нелінійного програмування.

Розглянемо вирішення системи нелінійних рівнянь з двома невідомими:

, (1)

де – нелінійна функція від змінних і , - довільна константа.

Відомо, що пара є рішенням системи рівнянь (1) тоді і тільки тоді, коли вона є рішенням такого нелінійного рівняння з двома невідомими:

. (2)

Рішення системи (1) – це точки перетину двох кривих: і на площині .

Метод знаходження коренів системи нелінійних рівнянь (1):

1. Визначити інтервал існування рішення системи рівнянь (1) або рівняння (2). Можливе використання підбору початкового наближеного рішення.

2. Побудувати графіки функцій і на площині і визначити інтервали існування точок перетину кривих системи (1).

3. Протабулювати по змінним і на обраних інтервалах функцію

. (3)

4. Локалізувати корені системи рівнянь (1) – знайти кілька мінімальних значень з таблиці табулювання функції (3).

5. Знайти корені системи рівнянь (1) за допомогою надбудови Поиск решения.

Приклад вирішення системи нелінійних рівнянь.

Знайти всі рішення системи нелінійних рівнянь з двома невідомими за допомогою інструмента Поиск решения:

Рішенням заданої системи рівнянь є точки перетину кола з радіусом 2 і центром (1; -1) ( змінюється від -1 до 3) та прямої , тому розглядаємо інтервал значень .

Будуємо графіки заданих функцій (рис. 17) на інтервалі з кроком . Рівняння кола представимо у вигляді: . Формули для побудови графіків: в клітині В5 задаємо формулу знаходження для додатних значень кореня у рівнянні кола: = –1+(4–(A5–1)^2)^(1/2); в клітині С5 – для від’ємних значень кореня: = –1–(4–(A5–1)^2)^(1/2); в клітині D5 задаємо вираз =(2–5*A5)/4 для побудови прямої .

Рис. 17.

З побудованих графіків (рис. 17) видно, що задана система рівнянь має два корені: перший на інтервалі , , другий на інтервалі , .

Табулюємо функцію на інтервалі , для локалізації першого кореня заданої системи рівнянь (рис. 18).

У клітину В88 вводимо формулу =(($A88–1)^2+(B$87+1)^2–4)^2+(5*$A88+4*B$87–2)^2 і фіксуємо за допомогою абсолютної адресації стовпець А, де знаходяться значення і рядок 87, де знаходяться значення . Далі копіюємо формулу у клітині В88 через автозаповнення на весь масив клітин В88:L98.

Рис. 18.

У клітині В99 знаходимо мінімальне значення функції у стовпці В: =МИН(B88:B98). Потім цю формулу копіюємо на клітини рядка С99:L99. У клітині М99 знаходимо найменше значення функції : =МИН(B99:L99).

Таким чином, перший корінь локалізовано: клітина Е96 з найменшим значенням функції відповідає значенням , .

Для подальшого уточнення за допомогою інструменту Поиск решения записуємо значення , окремо у клітини D103:Е103 (рис. 19), у клітині G103 обчислюємо відповідне значення : =((D103-1)^2+(E103+1)^2-4)^2+(5*D103+4*E103-2)^2.

Рис. 19.

Для знаходження точного значення першого кореню заданої системи нелінійних рівнянь використовуємо надбудову Сервис, Поиск решения з такими умовами: у цільовій клітині G103 потрібно встановити нульове значення, змінюючи клітини D103:E103. Результати пошуку рішення показані на рис. 20.

Рис. 20.

Аналогічно локалізується і уточнюється з використанням інструменту Поиск решения другий корінь заданої системи рівнянь на інтервалі , (див. рис. 21).

Рис. 21.