Задача к1

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорение точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени =1c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: ;

.

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:

; (x, y – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени =1с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения времени t. Поскольку t входит в аргумент вдвое больше другого, используем формулу

или . (1)

Из уравнения движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

, ;

следовательно,

.

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. К1):

.

2.Скорость точки найдем по ее проекциям на координатной оси:

;

;

;

и при t=1c

=1,11см/с, =0,73см/с, =1,33см/с (3)

3. Аналогично найдем ускорение точки:

; ; ;

и при t=1с

, , . (4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство . Получим:

и . (5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при t=1c .

5. Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда найденные числовые значения , получим , что при t=1с .

6. Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда числовые значения и , найдем, что при t=1с .

Ответ: , , , .

Задача к2

Указания. Задача К2 – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связанны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

П ример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами и и колесо 3 радиуса , скрепленное с валом радиуса , находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону .

Дано: , , , , (S-в сантиметрах, t – в секундах), А – точка обода колеса 3, .

Определить: в момент времени .

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса ), через , а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса ), - через .

1. Определяем сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость

. (1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то или . Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, или . Из этих равенств находим

, . (2)

Тогда для момента времени получим .

2. Определяем . Так как , то при .

3. Определяем . Учитывая второе из равенств (2), получим . Тогда при .

4. Определяем . Для точки А , где численно , . Тогда для момента времени имеем

, ;

.

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

Ответ: .