Задача д7
Указания.
Задача
Д7 – на применение дифференциальных
уравнений плоскопараллельного движения
твердого тела. При составлении уравнений
следует во избежание ошибок в знаках
направить координатную ось x
в ту сторону, куда предполагается
направленным движение центра C
барабана, и считать тогда все моменты
положительными, когда они направлены
в сторону вращения барабана. Если
фактически направление движения центра
C
другое, то в ответе получится 
,
но найденная велечина 
будет верной. Силу трения, когда неясно,
куда она направлена, можно направлять
в любую сторону (результат от этого не
зависит).
Определяя
наименьшее значение коэффициента
трения, при котором возможно качение
без скольжения, учесть, что сила трения
не может быть больше предельной, т.е.
что 
,
откуда , откуда 
.
Следовательно, 
.
Очень существенно, что во все эти
выражения входят модули сил (мы не пишем
,
так как в данной задаче не может быть
).
Если при расчетах получится 
,
то это означает лишь, что фактически
сила 
направлена в другую сторону; в остальном
весь расчет будет верным.
Пример
Д7.
Барабан (сплошной однородный цилиндр)
радиуса R
и весом P
начинает катиться без скольжения из
состояния покоя по наклонной плоскости
с углом наклона 
;
на барабан действует сила
и пара сил с моментом M
(рис. Д7).
Д
ано:
P, F=0,8 P, M=1,1 PR, 
.
Определить:
1) 
– закон движения центра масс барабана;
2) 
– наименьший коэффициент трения, при
котором возможно качение без скольжения.
Решение.
Барабан совершает плоскопараллельное
движение под действием сил: 
и момента M.
Так как направление силы трения 
заранее неизвестно, выбираем его
произвольно. Проводим оси Oxy
и составляем дифференциальные уравнения
плоскопараллельного движения:
;
;
(1)
;
;
(2)
;
.
(3)
За положительное направление для моментов принято направление по ходу часовой стрелки, т.е. в ту сторону, куда будет вращаться барабан при движении центра C от оси Oy.
1)
Определение
.
Поскольку ясно, что в нашей задаче 
и 
,
то уравнение (1) - (3) содержат четыре
неизвестные величины (
).
Поэтому необходимо найти еще одно
соотношение, связывающее эти величины.
Для этого учтем, что 
(так как центр C
движется прямолинейно) и что при качении
без скольжения в точке B
находится мгновенный центр скоростей.
Тогда
или
.
(4)
Теперь
из уравнения (3) можно исключить
,
подставив в (3) найденное значение 
;
деля одновременно обе части уравнения
(3) на 
,
получим
.
(5)
Далее,
сложив почленно равенства (1) и (5), исключим
из них 
и
получим
.
Отсюда, так как P=mg, найдем для определения следующее дифференциальное уравнение
.
(6)
Интегрируя уравнение (6), получим
.
(7)
По
начальным условиям при t=0
(ось y
проводим через начальное положение
точки C).
Подстановка этих величин в равенства
(7) дает 
.
Окончательно находим следующий закон
движение центра C:
.
(8)
2) Определение . Для определения исходим из того, что при качении без скольжения сила трения должна удовлетворять неравенству
, (9)
Куда, подчеркиваем, входят модули сил. Величину N находим из уравнения (2), учитывая, что . Получим
.
(10)
Значение
проще всего найти из уравнения (5), заменив
в нем 
его значением (6). Получим
.
Отсюда, так как mg=P,
.
(11)
Знак указывает, что сила направлена противоположно показанному на рисунке.
Подставляя
значение 
из равенств (11) и (10) в неравенство (9),
получим 
,
откуда 
.
Следовательно, наименьший коэффициент
трения, при котором возможно качение
барабана без скольжения, 
.