Структура математической модели химического реактора

Математические модели высоких уровней иерархии включают в себя, как правило, несколько уравнений, как конечных, не со­держащих операторов дифференцирования, так и дифференциаль­ных, обыкновенных и в частных производных. Поэтому в общем случае математическая модель реактора - это достаточно сложная система уравнений, и количественные расчеты на основании этой модели целесообразно проводить, используя электронные вычис­лительные машины. Правильно разработанная модель химическо­го реактора или химико-технологического процесса позволяет раз­работать и систему управления реактором или процессом в целом с использованием ЭВМ.

В то же время при описании химического процесса на нижних уровнях иерархической структуры часто возможно применение сравнительно простых математических методов. При этом доста­точно отчетливо может просматриваться физическая сущность изу­чаемых явлений.

Протекающий в реакторе химический процесс представляет собой единство химической реакции и процессов переноса (тепло-, массопереноса и переноса импульса). Уравнения, входящие в ма­тематическую модель, должны учесть все эти явления. Однако, если для описания каждого из них использовать свои уравнения, математическая модель получится многомерной, что даже на низких уровнях иерархии затруднит нахождение решений такой системы уравнений, т. е. по сути дела осложнит технологический расчет реактора.

Поэтому при разработке математической модели стоит задача понизить размерность модели - по возможности объединить сущ­ность отдельных элементов химического процесса в одном-двух уравнениях. Для уверенности в правильности выбора уравнений целесообразно в качестве исходных посылок использовать какие-либо фундаментальные законы, например законы сохранения. Поэтому правильно было бы составлять математическую модель химического процесса и химического реактора, отталкиваясь от законов сохранения массы и энергии.

Математическим выражением законов сохранения являются балансовые уравнения и прежде всего, уравнения материального и энергетического балансов. В уравнении материального баланса можно учесть все изменения, которые происходят с веществом во времени и пространстве в результате химической реакции и диф­фузионных явлений (массопереноса) или при движении элемен­тов потока в реакторе (при переносе импульса). Аналогично урав­нение энергетического (теплового) баланса может учесть все энергетические изменения в реакторе, имеющие место, как в ходе химической реакции, так и в результате процессов переноса.

Таким образом, сочетание только лишь двух уравнений - материального и теплового балансов может обеспечить получе­ние достаточно полной математической модели химического про­цесса.

Так как химический процесс в реакторе протекает во времени и в пространстве, то для составления балансовых уравнений нуж­но предварительно выбрать некоторые элементарный объем ΔV и элементарный промежуток времени Δτ.

Будем считать, что элементарным является такой объем, выде­ленный внутри реактора, в пределах которого можно пренебречь неравномерностью распределения концентраций и температуры. Элементарный объем неподвижен относительно аппарата и не передвигается вместе с реакционным потоком. В общем случае элементарный объем ΔV бесконечно мал во всех измерениях, но в некоторых частных случаях (например, для аппарата идеального смешения) его можно считать равным всему объему реактора.

Элементарным промежутком времени Δτ является такой, в те­чение которого можно пренебречь изменениями концентрации и температуры внутри элементарного объема ΔV. Элементарный промежуток времени бесконечно мал для нестационарных режи­мов работы реактора и может быть выбран любым для стационар­ных режимов, например равным 1 час или 1 мин.

Рассмотрим общую структуру балансовых уравнений. Уравнения материального баланса (одно или несколько) со­ставляют по тому или иному компоненту - участнику реакции (реагенту или продукту), отражая в уравнении все изменения, про­исходящие с этим компонентом. Если реакция сложная, матема­тическое описание, как правило, включает в себя несколько урав­нений материального баланса по нескольким веществам, каждое из которых участвует, по меньшей мере, в одной из простых реак­ций, составляющих сложную.

Уравнение материального баланса по веществу J учитывает все виды поступления и расходования этого компонента в пределах элементарного объема ΔV в течение промежутка времени Δτ :

n_J,вх – n_J,вых - n_J,хим.р = n_J,нак

где n_J,вх и n_J,вых - количество вещества J, внесенное в элементарный объем и вынесенное из него с потоком участников реакции; n_J,хим.р – количество вещества J, израсходованное на химическую реакцию (или образовавшееся в результате ее проте­кания) в объеме ΔV за время Δτ; n_J,нак - накопление вещества J в объеме ΔV за время Δτ (изменение количества вещества J, одно­временно содержащегося в объеме ΔV).

Аналогично составляют и уравнение теплового баланса. Для элементарного промежутка времени Δτ рассматривают все тепло­вые потоки, которые входят, выходят или образуются внутри эле­ментарного объема ΔV. Их алгебраическая сумма равна накопле­нию (изменению количества) теплоты в объеме ΔV за промежуток времени Δτ:

Q_вх - Q_вых ± Q_хим.р ± Q_теплоб = Q_нак

где Q_вх - теплосодержание веществ, входящих в объем ΔV за время Δτ; Q_вых - теплосодержание веществ, выходящих из объема ΔV за время Δτ; Q_хим.р - теплота, выделившаяся или поглотившаяся в ре­зультате протекания химической реакции в объеме ΔV за время Δτ; Q_теплоб - теплота, израсходованная на теплообмен объема ΔV с окру­жающей средой за время Δτ; Q_нак - накопление теплоты за время в объеме ΔV за время Δτ.

При моделировании химических реакторов с использованием системного (иерархического) подхода можно идти двумя путями.

Первый путь - от простого к сложному. Сначала целесообразно рассмотреть заведомо более простые (идеализированные) случаи протекания химических процессов в химических реакторах, а за­тем, постепенно, снимая упрощающие ограничения, перейти к бо­лее общей модели.

Второй путь - обратный, от сложного - к более простому. Сначала, не вводя никаких упрощающих допущений, разработать математическую модель, пусть даже и сложную с точки зрения ее решения. Затем для определенных групп химических реакторов и режимов их работы ввести упрощающие допущения, справедли­вые только для этой группы реакторов, и получить более простые уравнения или системы уравнений, которые могут быть использо­ваны в пределах действия принятых допущений.

Второй путь, по всей видимости, является более общим. Ис­пользуя его, выведем уравнение материального баланса, пригод­ное для описания любого реактора и любого режима его работы.