Уравнение материального баланса для элементарного объема проточного химического реактора

Составим урав­нение материального баланса по произвольному участнику реак­ции - веществу J - для элементарного объема произвольного проточного химического реактора и элементарного промежутка времени.

Рассмотрим поток жидкости, протекающей через реактор. Под термином - жидкость, как принято в гидродинамике, будем понимать как жидкости, так и газы. О ходе химического процесса в реакторе будем судить по измене­нию молярной концентрации вещества J в жидкости c_j. Так как в реакторе имеет место то, или иное распределение концентрации c_j по объему, а в каждой произвольно выбранной точке еще и распределение концентрации во времени, то будем считать, что c_j является функцией четырех переменных: трех пространственных координат x, y, z и времени τ: c_j = c_j(х, у, z, τ). В соответствии с рассмотренными выше требованиями к раз­меру элементарного объема и значению элементарного промежут­ка времени выберем в качестве элементарного промежутка времени бесконечно малый интервал dτ (dτ → 0), а в качестве элементарно­го промежутка пространства - параллелепипед с бесконечно ма­лыми сторонами dx, dy и d z и объемом dV= dxdydz (рис. 9.1).

В уравнении материального баланса по веществу J должны быть отражены, как указано выше, все изменения, которые произойдут за время dτ с веществом J при прохождении потоком элементар­ного объема. Эти изменения могут быть связаны с тремя причина­ми: конвективным переносом, диффузионным переносом и хими­ческой реакцией.

Конвективный перенос, или перенос импульса, вызван движе­нием потока со скоростью и в результате какого-либо внешнего воздействия (например, из-за перепада давления, созданного насо­сом или компрессором).

Рис. 9.1. Элементарный объем химическо­го реактора:

1, 1´ - конвективный и 2, 2´ - диффузионный потоки на входе в элементар­ный объем

и на выходе из него, соответственно

При макроскопическом движении жид­кости каждый данный ее участок передвигается как целое с неиз­менным составом, и в результате происходит чисто механическое перемешивание: хотя состав каждого передвигающегося участка жидкости может оставаться неизменным (если нет химической реакции), в каждой неподвижной точке пространства, строго говоря, концентрация жидкости будет меняться во времени.

Охарактеризовать конвективный перенос можно изме­нением импульса единицы объема жидкости c_j∙ū. Импульс единицы объема равен произведению плотности на скорость ρ∙ū, одна­ко молярная концентрация c_j [кмоль/м³] пропорциональна плотности ρ [кг/м³], и по произведению c_j∙ū можно судить об импульсе.

Диффузионный перенос вызван наличием неравномерного рас­пределения вещества J в пространстве. Вследствие выравнивания концентрации молекулярным переносом веществ реакционной смеси из одного участка жидкости в другой также происходит из­менение состава внутри элементарного объема. Охарактеризовать диффузионный перенос можно в соответствии с законами Фика изменением диффузионного потока вещества J, равного D∙gradc_j (D - коэффициент диффузии).

Протекание химической реакции в элементарном объеме - неотъемлемая часть любого химического процесса. Расход или образование вещества J в ходе химической реакции пропорциона­лен скорости реакции w_rj.

Алгебраическая сумма всех этих трех изменений должна быть равна накоплению (положительному или отрицательному) вещест­ва J в элементарном объеме, т. е. изменению количества вещества J, находящегося внутри элементарного объема, за тот промежуток времени, для которого составляется материальный баланс.

Конечное уравнение материального баланса по вещест­ву J можно записать так:

или, разделив все на dVdτ, получим:

(9.1)

Полученное уравнение достаточно полно описывает химический про­цесс, протекающий в любом химическом реакторе (при его выво­де не было принято никаких допущений об его применимости только к какому-то одному определенному типу химических реак­торов). В нем отражен перенос импульса (первый член уравне­ния), диффузионный перенос (второй член уравне­ния) и протекание хими­ческой реакции (третий член уравне­ния).

Уравнение (9.1) вместе с уравнением теплового баланса, учи­тывающим явления теплопереноса в элементарном объеме реак­тора, составят полную математическую модель реактора. Таким образом, будет решен вопрос и о небольшом числе уравнений, со­ставляющих математическую модель, и об ее полноте.

Однако уравнение (9.1) слишком сложно для решения (диф­ференциальное уравнение второго порядка в частных производ­ных). Следовательно, реальный путь создания математических моделей, пригодных для решения практических инженерных за­дач по расчету и проектированию химических реакторов, заклю­чается в упрощении математической модели, которое можно про­вести для различных частных случаев.

В соответствии с такой концепцией мы будем рассматривать математические модели различных типов реакторов - сначала реакторов для гомо­генных процессов, работающих в изотермическом режиме, затем в неизотермическом, затем реакторы для гетерогенных процессов.