Задача о непрерывном начислении процентов

Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р% годовых. Необходимо найти размер вклада через t лет.

Очевидно, при р% годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в раз, т.е.

.

Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а п раз, то при том же ежегодном приросте р%, процент начисления за часть года составит , а размер вклада за t лет при nt начислениях составит

.

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (n = 2), ежеквартально (n = 4), ежемесячно (n = 12), каждый день (n = 365), каждый час (n = 8760) и т.д., непрерывно . Тогда размер вклада за t лет составит

или с учетом второго замечательного предела .

Эта формула выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при p>0) или убывания (при p<0). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов.

Чтобы почувствовать результаты расчетов по предыдущим формулам, в таблице приводятся размеры вкладов (найденные при ден.ед., , лет).

	Формула сложных процентов					Формула непрерывного начисления процентов
	n = 1	n = 2	n = 4	n = 12	n = 365
Размер вклада, ден.ед.	2,6355	2,6851	2,7015	2,7126	2,7181	2,7182

Как видим, погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежегодно (n = 1), при одной и той же процентной ставке оказалась незначительной (около 2,5%).

З а м е ч а н и е. Хотя в практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности, при обосновании и выборе инвестиционных решений.

Приложение производной в экономической теории

Рассмотрим некоторые примеры приложения производной в экономической теории. Как мы увидим, многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы Ферма.

Один из базовых законов теории производства звучит так: оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода.

То есть уровень выпуска является оптимальным для производителя, если , где - предельные издержки, а - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за . Тогда . Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т.е. такое значение выпуска , при котором функция имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке . Но , поэтому , т.е. .

Другое важное понятие теории производства – это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек.

Получим это условие как следствие теоремы Ферма. Средние издержки определяются как , т.е. издержки по производству товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции , т.е. при условии , откуда или , т.е. .

Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов – закон убывающей доходности – звучит следующим образом: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает.

Иными словами, величина , где - приращение ресурса, а - приращение выпуска продукции, уменьшается при увеличении . Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция , выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности , где - товар, а - полезность. Эта величина очень субъективна для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.