Вектори в просторі.

Вектором називається напрямлений відрізок. Вектор – це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком.

Вектори позначають двома способами:

• малими буквами латинського алфавіту (наприклад, );

• двома великими буквами латинського алфавіту (наприклад, ).

Графічно вектори зображають у вигляді направлених відрізків певної довжини ( , ).

Рис.1. Вектор з початком в точці A і кінцем в точці B.

Вектори і називають протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені півпрямі і .(рис. 2)

Вектори і називають співнапрямленими, якщо співнапрямлені півпрямі і .(рис. 3)

Рис.2. Протилежно напрямлені вектори. Рис.3. Співнапрямлені вектори.

Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим і позначається . Нульовий вектор має довжину 0. Напрям нульового вектора не визначений. Нульовий вектор прийнято вважати співнапрямленим з будь-яким вектором. Вважається, що нульовий вектор одночасно паралельний і перпендикулярний будь-якому вектору.

Два вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні.

Два вектори називаються рівними, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням. Рівні вектори однаково напрямлені і рівні за абсолютною величиною. Рівні вектори мають рівні відповідні координати.

Вектор може позначатися однією малою буквою латинського алфавіту , і відповідно мати координати:

.

Якщо вектор має початком точку A з координатами , а кінцем – точку B з координатами , то числа називаються його координатами:

,

Абсолютною величиною (або модулем) вектора називається довжина відрізка, що зображає вектор, і позначається | | або .

Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.

,

( — кут між векторами).

.

Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю. = 0, тобто = 0

Кут  між двома векторами і можна знайти за формулою:

_.

Сумою векторів і називається вектор .

Різницею векторів і називається вектор .

Добутком вектора на число λ називається вектор:

Тренувальні завдання. Дано координати точок а(- 1; 2; 5) і в(3; - 2; 3).

1. Знайдіть координати вектора .

Зразок розв’язання:

Скористаємося формулою:

Обчислимо:

Відповідь:

2. Знайдіть довжину вектора .

Зразок розв’язання:

Скористаємося формулою:

Обчислимо:

Відповідь: = 6 одиниць довжини.

3. Дано точки а(1; 2; 3), в(- 2; 4; 6), с(7; - 1; - 8), d(х; у; z). Знайдіть х, у і z, якщо .

Зразок розв’язання:

1) обчислимо координати вектора .

(-2 – 1; 4 – 2; 6 – 3) = (-3; 2; 3);

2) обчислимо координати вектора .

(х – 7; у – (-1); z – (-8)) = (х – 7; у + 1; z + 8) = (х – 7; у + 1; z + 8);

3) вектори рівні: , тому їхні відповідні координати також рівні. Отже:

х – 7 = -3; х = -3 + 7; х = 4,

у + 1 = 2; у = 2 – 1; у = 1,

z + 8 = 3; z = 3 – 8; z = -5.

D(4; 1; - 5).

Відповідь: D(4; 1; - 5).