3. Короткі теоретичні відомості

Положення знімка в просторі в момент фотографування в декартовій зовнішній координатній системі (системі координат об’єкта) однозначно визначається 6 параметрами – елементами зовнішнього орієнтування. Положення знімка відносно центра фотографування S визначають елементи внутрішнього орієнтування {x_o, y_o, f}, які дозволяють встановити зв'язку проектуючих променів в момент фотографування. Оскільки зв'язка побудована в системі координат знімка o'xyz то ці параметри є параметрами зв’язку двох просторових систем координат OXYZ і Sxyz (рис.1).

Таким чином, для орієнтування системи координат знімка відносно системи координат об’єкта необхідно знати шість елементів зовнішнього орієнтування.

Рис.1.

На рис.1 показана система координат об’єкта OXYZ, система координат знімка o'xy та допоміжні координатні системи з початком в точці S: Sxyz-координатні осі якої є паралельними до координатних систем знімка, а вісь z направлена по головному оптичному променю S_o і SX'Y'Z' координатні осі паралельні відповідним осям системи координат об’єкта OXYZ. Вектор {Xs, Ys, Zs} визначає положення проекції S в системі координат об’єкта, вектор {X, Y, Z} визначає положення точки М в системі координат об’єкта, а вектор R'{X', Y', Z'} – положення точки m в допоміжній системі координат SX'Y'Z'. Положення на знімку зображення m точки об’єкта М визначає вектор r_m{x, y, z=-f} в системі координат знімка Sxyz.

Елементами зовнішнього орієнтування знімка (I – система) є координати XsYsZs центра проекції S в системі координат об’єкта OXYZ і кути повороту α, ω, χ системи координат знімка Sxyz відносно координатної системи об’єкта OXYZ (SX'Y'Z').

Кут повороту ω називається поперечним (тангаж для літака) і визначає поворот навколо осі Sx, кут повороту α називається повздовжнім (крен) і визначає поворот навколо осі Sy, кут χ називається кутом розвороту (знос) і означає поворот навкруг осі Sz.

Координати точки об’єкта і їх зображення на знімку зв’язані векторним рівнянням, яке називають рівнянням колінеарності:

(1)

Вектори колінеарні, тому:

(2)

або в координатній формі:

(3)

звідси:

(4)

де N – скаляр, або масштабний множник. Підставивши останню рівність з (4) в два перших рівняння (3), маємо:

або

(5)

де: X_M, Y_M, Z_M – координати точки М в системі координат об’єкта;

X_S, Y_S, Z_S – координати центра проекції S в системі координат об’єкта;

X', Y', Z' – координати точки в допоміжній системі координат SX'Y'Z'.

Зазвичай на знімку вимірюють плоскі прямокутні координати x', y' в системі координат o'xy, або переходячи до допоміжної просторової системи координат знімка Sxyz точка m буде визначатися вектором:

(6)

де: x', y' – виміряні координати точки m на знімку в системі координат o'xy;

x₀, y₀, f – елементи внутрішнього орієнтування, які визначають положення головної точки «о» на знімку відносно системи координат знімка.

Для визначення координат X'Y'Z' точок знімка в координатній системі SX'Y'Z' за відомими координатами точок знімка x', y', -f в системі координат Sxyz використовують відоме в математиці перетворення координатних систем (простору):

,

(7)

де - результуючий вектор;

- матриця, яка характеризує розвороти систем координат

(8)

(a_i, b_i, c_i)_i=1÷3 – елементи матриці, напрямні косинуси;

- вхідний вектор

або в координатній формі

,

(9)

або,

,

(10)

Таким чином, якщо відомі елементи зовнішнього орієнтування α, ω, χ (α', t, χ'), Xs, Ys, Zs і висоти точок Zі, то за формулами (5) можна визначити координати точок об’єкта X,Y.

Елементи зовнішнього орієнтування можуть бути визначені в результаті фотограмметричного опрацювання знімків за опорними точками, або отримані під час знімання за даними опрацювання бортових супутникових кінематичних вимірювань і вимірювання інерційної системи.

Матрицю напрямних косинусів (8) обчислюють за формулами:

I система	II система
	(11)

Якщо відомі напрямні косинуси, то можна визначити кутові елементи зовнішнього орієнтування. Для прикладу в I-системі вони визначають так:

Формули (5) справедливі для довільних кутових елементів зовнішнього орієнтування.

Для планового знімка кутові елементи зовнішнього орієнтування знімка є малими величинами. Тому тригонометричні функції кутів α, ω і χ можна розкласти в ряди і зберегти при цьому члени першого і другого порядку малості отримати такі формули:

(12)

Для випадку аерознімання із використанням гіростабілізаційної установки кутові елементи, як правило, не перевищують , тоді матрицю напрямних косинусів можна представити тільки членами першого порядку малості, а саме:

(13)

Для горизонтального знімка (α=ω=χ=0) матриця А перетвориться в одиничну матрицю:

(14)

Формули (1)-(14) є теоретичним обґрунтуванням розв’язання прямої фотограмметричної засічки для поодинокого кадрового аерофотознімка.

Другий шлях отримання планових координат точок об’єкта (місцевості) пов'язаний з використанням формул аналітичного трансформування.

Як відомо, кадровий аерофотознімок представляє собою зображення точок земної поверхні на площині, зафіксованих в один момент часу в перспективній центральній проекції. Такий знімок має кути нахилу відносно прямовисної лінії до поверхні референц-еліпсоїда, що приводить до зміщення точок на знімку по відношенню до їх положення на горизонтальному знімку. Такі зміщення підчиняються певному закону і, якщо відомі кути нахилу знімка, то вони легко враховуються при переході із системи координат знімка до системи координат місцевості.

Процес перетворення координат похилого аерознімка в координати горизонтального знімка в задану проекцію відповідного масштабу називається трансформуванням знімків.

В деяких випадках при розв’язанні фотограмметричних задач нема необхідності переходу до заданої проекції і приведення знімків до заданого масштабу, а достатньо отримати трансформовані координати за виміряними координатами похилого знімка. Для цього використовують просторову координатну систему знімка з початком в точці фотографування S і приймають що похилий і горизонтальний знімок отримані з однієї точки фотографування. Геометрична інтерпретація показана на рис.2.

Рис.2.

Розрахунки виконуються за наступними формулами:

(15)

де {x₀, y₀, f} – елементи внутрішнього орієнтування аерознімків;

{a_i, b_i, c_i}_i=1-3 – напрямні косинуси обчислені за кутовими елементами зовнішнього орієнтування аерофотознімка α, ω, χ (α', t', ω').

Залежності (15) є рівняннями аналітичного трансформування загального вигляду і справедливі для довільних значень кутових елементів зовнішнього орієнтування.

Для планових та гіростабілізованих аерофотознімків існують наближені формули трансформування такого вигляду:

(16)