Арифметическая прогрессия

Определение 1. Числовая последовательность (a_n)_n  N называется арифметической прогрессией, если существует действительное число d (называемое разностью прогрессии), такое, что

an+1 - an = d,   (n  N)

(1)

то есть, каждый член последовательности (начиная со второго) равен предыдущему плюс одно и то же число (разность прогрессии).

Свойства арифметической прогрессии

Доказательства приведенных ниже свойств можно найти, например, в [1].

P1. Общий член арифметической прогрессии a_n определяется по формуле

an = a1 + (n - 1)d,

(2)

где a₁ - первый член прогрессии, d - ее разность.

P2. (Характеристическое свойство арифметической прогрессии). n-ый член арифметической прогрессии является средним арифметическим равноудаленных от него членов прогрессии:

an-k + an+k = 2·an,

(3)

Замечание. Из свойства P2 следуют необходимые и достаточные условия:

a) три числа a, b, c (в указанной очередности) образуют арифметическую прогрессию, если

2b = a + b,

(4)

b) три числа a, b, c (независимо от очередности) образуют арифметическую прогрессию, если

(2b - a - c)(2c - a - b)(2a - b - c) = 0.

(5)

P3. Если a₁, a₂, ..., a_n, ... - арифметическая прогрессия и k + n = m + p (k,n,m,p  N), то

ak + an = am + ap.

(6)

P4. Сумма S_n первых n членов арифметической прогрессии равна

(7)

или, учитывая (2)

(8)

Определение 2. Арифметическая прогрессия называется возрастающей (убывающей если ее разность - положительное (отрицательное) число. Если разность прогрессии равна нулю, имеем постоянную последовательность.

Геометрическая прогрессия

Определение 2. Числовая последовательность (b_n)_n  N называется геометрической прогрессией, если существует действительное число q, называемое знаменателем прогрессии, такое, что

b_n+1 = b_n·q,     (n  N)

то есть, каждый член последовательности (начиная со второго) равен предыдущему, умноженному на одно и то же число (знаменатель прогрессии).

Следующие последовательности являются геометрическими прогрессиями:

2, 4, 8, ..., 2n, ...	здесь b1 = 2 и q = 2,
3, -1, 1/3, -1/3,...	здесь b1 = 3 и q = -1/3,
a, a, a, ...	здесь b1 = a и q = 1,
a, 0, 0, ...	здесь b1 = a и q = 0

Заметим, что, если один из членов геометрической прогрессии равен нулю, то тогда либо b₁ = 0, либо q = 0.

Свойства геометрической прогрессии

P5. Формула n-го члена геометрической прогрессии:

bn = b1·qn-1,     (n  N).

(11)

P6. (Характеристическое свойство геометрической прогрессии). Квадрат n-го члена геометрической прогрессии равен произведению равноудаленных от него членов:

(12)

В частном случае, для трех последовательных членов геометрической прогрессии

(13)

Замечание. Формулы (12), (13) можно записать и следующим образом:

(14)

(15)

то есть, модуль n-го члена геометрической прогрессии есть среднее геометрическое равноудаленных от него членов. В случае прогрессии с положительными членами n-ый член является средним геометрическим равноудаленных от него членов

(16)

P7. Если k + n = m + p (k, n, m, p  N), тогда

bk·bn = bm·bp,

(17)

где b_k, b_n, b_m, b_p - члены геометрической прогрессии b₁, b₂, ....

P8. Числа a, b, c (не обязательно в указанной очередности) образуют геометрическую прогрессию, если и только если удовлетворяют равенству

(a2 - bc)(b2 - ac)(c2 - ab) = 0,

(18)

а числа a, b, c (в указанной очередности) образуют геометрическую прогрессию, если и только если

b² = ac.

P9. Сумма S_n первых n членов геометрической прогрессии определяется по формуле

(19)

где b₁ - первый член прогрессии, q - её знаменатель, b_n - n-ый член прогрессии.

Если q = 1, то

Sn = b1·n.

(20)

P10. Сумма S всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) определяется по формуле

(21)

Доказательства свойств P5-P10 можно найти, например, в [1].

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то: а) При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при . б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при . в) При  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то: а) При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при . б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при . в) При  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак

Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Исследовать ряд на сходимость

Почти классика. Натуральный логарифм и какая-нибудь бяка.

Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная. Из темы Производная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь: , и у нас как раз такой канонический случай.

Как использовать интегральный признак? Сначала берем значок интеграла и переписываем со «счётчика» ряда верхний и нижний пределы: . Затем под интегралом переписываем «начинку» ряда с буковкой «хэ»: . Чего-то не хватает…, ах, да, еще в числителе нужно прилепить значок дифференциала: .

Теперь нужно вычислить несобственный интеграл . При этом возможно два случая:

1) Если выяснится, что интеграл  сходится, то будет сходиться и наш ряд .

2) Если выяснится, что интеграл   расходится, то наш ряд  тоже будет расходиться

ЛЕЙБНИЦА ПРИЗНАК

сходимости знакочередующегося ряда: если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и стремятся к нулю то ряд сходится; при этом остаток ряда имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.

Дифф Уравнение 1 ого порядка ,его вид

где функции и определены и непрерывны в некоторой области

Линейное ДУ

Решить дифференциальное уравнение – это значит найти множество решений, которое удовлетворяет данному уравнению. Такое множество решений, напоминаю, называется общим интегралом или общим решением дифференциального уравнения.

Таким образом, в рассмотренном примере найденное общее решение  должно удовлетворять исходному уравнению . Точно так же, как и диффура 1-го порядка, в большинстве случаев легко выполнить проверку:

Берем наш ответ  и находим производную: Находим вторую производную: Подставляем ,  и  в левую часть уравнения :

Получена правая часть исходного уравнения (ноль), значит, общее решение  найдено правильно (оно, как проверено, удовлетворяет уравнению ).

Решить дифференциальное уравнение

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

, Получены два различных действительных корня (от греха подальше лучше сразу же  выполнить проверку, подставив корни в уравнение). Всё, что осталось сделать – записать ответ, руководствуясь формулой

Ответ: общее решение:

Очевидно – уравнение Бернулли по общей структуре напоминает линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Как решить линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами вида ?