Алгоритм решения неоднородного ду следующий:

1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения. Да-да, взять уравнение , откинуть правую часть:  – и найти общее решение. Данная задача подробно разобрана на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Общее решение однородного уравнения я привык обозначать буквой .

2) Наиболее трудный этап. Необходимо найти какое-либо частное решение  неоднородного уравнения. Сделать это можно так называемым способом подбора частного решения с применением метода неопределенных коэффициентов.

Внимание! Для освоения метода подбора будет жизненно необходим методический материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Данную справку лучше по возможности распечатать, очень удобно, если она будет перед глазами. Но не спешите вникать в эти таблицы, если являетесь чайником! Всему свое время.

3) На третьем этапе надо составить общее решение   неоднородного уравнения. Это совсем легко: . Совершенно верно – следует просто приплюсовать завоёванные трофеи.

Если изначально в условии сформулирована задача Коши (найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям), то добавляется четвёртый этап:

4) Нахождение частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Порядок нахождения частного решение для уравнения второго порядка уже немного рассмотрен на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. В случае с неоднородным диффуром принципы нахождения частного решения сохраняются.

Примечание: В ваших лекциях, практических занятиях общее решение однородного уравнения  и подобранное частное решение неоднородного уравнения , скорее всего, обозначаются не так. Я «намертво» привык к обозначениям ,   и буду использовать именно их.

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y₀(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения: