Свойства неопределенного интеграла

Свойство 1.

Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5. Пусть F(x) есть первообразная для функции f(x).

Тогда

Таблица основных неопределенных интегралов

1. 2. 3.

5. 6.

;

12.

Основные методы интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Непосредственным интегрированием называется вычисление интегралов путем использования таблицы основных неопределенных интегралов, их свойств, а также тождественных преобразований подынтегрального выражения.

Пример1. Найти неопределенный интеграл

Пример 2. Найти . Это интеграл вида . По свойству 5 неопределенных интегралов имеем

Интегрирование по частям.

Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на интервале (а,b), то .

Таким образом, вычисление сводится к вычислению , которое может оказаться более простым.

Пример 1. Вычислить .

Положим u=x, , тогда Константу С при определении функции мы опускаем, так как она входит в окончательный ответ du=dx. Отсюда по формуле (2) имеем

Метод интегрирования по частям применяют при вычислении следующих интегралов:

1)

где P_n(x) – полином степени n

В этих интегралах за u(x) принимается P_n(x) и интегрируют по частям n раз.

2

В этих интегралах dv принимается

Задание 4. Решить уравнение:

4.1. С разделяющимися переменными:

4.2. Линейное первого порядка:

4.3. Однородное первого порядка:

4.4. Однородное первого порядка:

4.5. С разделяющимися переменными:

4.6. Линейное первого порядка:

4.7. С разделяющимися переменными:

4.8. Однородное первого порядка :

4.9. Линейное первого порядка:

₄.10. С разделяющимися переменными:

Указания к заданию 4

Дифференциальные уравнения являются одним из основных математических понятий, наиболее широко применяемых при решении практических задач. С помощью дифференциальных уравнений описывается динамика объектов или систем объектов.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких функций). Вместо производных в уравнение могут входить дифференциалы. Если неизвестные функции, входящие в дифференциальное уравнение, зависят только от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения n-ого порядка называется функция у(х), непрерывная на некотором интервале (а,b) вместе со своими производными до (n-1) порядка включительно и имеющая производную у⁽ⁿ⁾(x), такая что подстановка функции у(х) в исходное дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Заметим, что процедура решения простейшего дифференциального уравнения означает нахождение функции по ее производной, то есть, сводится к нахождению неопределённого интеграла . Произвольная константа С означает, что дифференциальные уравнения имеют бесконечные множества решений.

Уравнение в разделяющихся переменных

Процесс нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Очевидно x ≠ 0. Перепишем уравнение в виде: и разде-

лим переменные . Интегрируя обе части последнего равенства, получаем . Заменим С=lnC₁, C₁>0. Потенцируя полученное равенство, получаем

, , .

После раскрытия модуля получаем . Поскольку C₁ может принимать любые значения неравные нулю, решение можно записать в виде у(x)=Сх, где произвольная постоянная С не равна нулю. Проверим потерянный при решении случай у=0. Оно является частичным решением при C=0 следовательно не является особым. Таким образом, общее решение исходного уравнения у(х)=Сх.

Однородные дифференциальные уравнения.

Если в уравнении (1)

функции М(x,y) и N(x,y) являются однородными функциями одной и той же степени, то уравнение (1) называется однородным.

Приведенное свойство однородных функций нулевого порядка используется при решении однородных дифференциальных уравнений, то есть имеет место равенство ƒ(x,y)= . Замечая, что в правой части стоит функция только одного аргумента , и обозначая её через , мы видим, что однородное уравнение всегда можно представить в виде (2)

При произвольно заданной непрерывной функции  переменные не разделяются. Но так как в правую часть переменные входят только в комбинации , то можно ожидать, что уравнение упростится, если ввести подстановку , откуда

y=tx, (3) тогда t+x . (4)

Подставим выражения (3) и (4) в уравнение (2) , или .

Таким образом, мы получили уравнение с разделяющимися переменным (5)

В случае, когда (то есть ) уравнение (2) имеет вид , которое интегрируется с разделением переменных. Его общее решение .

Алгоритм решения однородного дифференциального уравнения:

1. Ввести новую функцию t = и подставить y = t x и t+x в уравнение (2).

2. В новых переменных t и x получить уравнение с разделяющимися переменными и найти его общее решение.

3. В полученном решении произвести обратную замену переменных t = и выписать решение исходного однородного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Разделим числитель и знаменатель правой части на x²: . Введем замену , тогда наше уравнение перепишется следующим образом. После упрощения получаем . Проинтегрируем последнее уравнение . Разложим подынтегральное выражение на элементарные дроби .

 получаем в итоге .

Вычислим интеграл

Окончательно получаем , или .

Делая обратную замену, получаем или .

Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение I порядка

(1)

называется линейным, если отношение содержит переменную y лишь в первой степени («линейно»). Линейное уравнение принято записывать в виде

, (2)

здесь и произвольные функции аргумента x. В частности, если , то уравнение

(3)

называется линейным однородным (или уравнением без правой части). Уравнение (3) легко решается разделением переменных, и общее решение имеет вид

. (4)

« Потерянное» при разделении переменных решение входит в полученную совокупность решений при С=0.

Если , то уравнение (2) называется неоднородным линейным уравнением (или линейным уравнением с правой частью). Линейное уравнение решается методом вариации постоянных

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в виде , это можно сделать, так как x=0 не является его решением. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением.

1). Выпишем линейное однородное уравнение, соответствующее исходному уравнению: .

2). Разделим переменные в случае .

Решим последнее дифференциальное уравнение , . В итоге получаем решение однородного линейного уравнения: .

3). Выпишем вид общего решения , где – неизвестная функция. Вычислим производную . Подставим в исходное уравнение , .

В итоге получаем

Иногда уравнение, не являющееся линейным относительно неизвестной функции , становится линейным, если в нем поменять ролями переменные y и x, а именно взять за аргумент y, а за неизвестную функцию x, то есть . Линейное уравнение такого типа можно записать в виде . (5)

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение не является линейным относительно неизвестной функции . Допустим, что неизвестной является функция , уравнение можно переписать следующим образом:

, .

Полученное уравнение является линейным относительно функции .

Решим линейное однородное уравнение или

.

Выпишем вид общего решения линейного однородного уравнения тогда

.

Интегрируя по частям, найдем .

.

Задание 5. Теория вероятностей.

1. В урне 30 шаров: 10 красных, 8 синих и 12 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

2. Стрелок стреляет по мишени, разделённой на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадёт либо в первую, либо во вторую область.

3. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

4. У сборщика имеются 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

5. Среди 1000 новорождённых оказалось 512 мальчиков. Найти вероятность рождения мальчиков.

6. В урне находятся 7 белых и 5 чёрных шаров. Найдите вероятность того, что: 1) наудачу вынутый шар окажется чёрным; 2) два наудачу вынутых шара окажутся чёрными.

7. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара – белые?

8. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара – чёрные?

9. В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

10. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

Указания к заданию 5.

Элементы комбинаторики.

Комбинаторика – это один из разделов дискретной математики, который приобрел большое значение в связи с использованием его в теории вероятностей, математической логике, теории чисел, вычислительной математике.

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых надо подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов, или число возможных способов осуществления некоторого действия. Такие задачи называются комбинаторными.

Комбинация – это соединение чего-либо в определенном порядке. К простейшим комбинациям относятся перестановки, размещения и сочетания. Перестановки – это комбинации, состоящие из одних и тех же п элементов и отличающиеся порядком этих элементов. Число всех возможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле

Р_n=п! (1)

Заметим, что по определению п!= и 0!= 1, 1!= 1 .

Пример 1. Определить число флагов с четырьмя горизонтальными поло­сами из красного, белого, синего и желтого цвета.

Решение. В нашем случае число элементов n = 4, поэтому Р₄ = 4!= = = 24 варианта.

Размещения – это комбинации, составленные из п различных элементов по т штук и отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений из п элементов по т штук вычисляется по формуле

. (2)

Пример 2. Определить число двухцветных флагов с горизонтальными полосами из красного, белого, синего и желтого цвета.

Решение. В нашем случае число элементов п = 4, т = 2, поэтому

=12 вариантов.

Сочетания – это комбинации, составленные из п различных элементов по т штук, которые отличающиеся хотя бы одним элементом. Порядок элементов не важен. Число всех возможных сочетаний из п элементов по т штук вычисляется по формуле

. (3)

Пример 3. В бригаде 12 человек: 5 женщин и 7 мужчин. Сколько различных вариантов команд из трех человек можно составить? Сколько вариантов женских команд? Сколько вариантов мужских команд?

Решение.

1). = 220 команд.

2). = 10 женских команд.

3). п = 7, т = 3, = 35 мужских команд.

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности исходит из некоторой системы равновероятных событий.

Рассмотрим полную группу попарно несовместных равновозможных событий А₁, А₂, ... А_n. Добавим к этим n событиям невозможное событие V и сложные события, образованные с помощью операции сложения любого числа событий А₁, А₂, ... А_n с любыми номерами. Полученная система событий S исчерпывается конечным числом событий, если считать равносильные события просто тождественно равными друг другу.

Пусть полная группа попарно несовместных равновозможных событий состоит из двух событий А₁ и А₂. Тогда система S содержит следующие четыре события: V, A₁, A₂, A₁+A₂=U. Если же полная группа попарно несовместимых равновозможных событий состоит из трех событий A₁, A₂, A₃, то система S содержит восемь событий: V, A₁, A₂, A₃, A₁+A₂, A₁,+A₃, A₂+A₃, A₁+A₂+A₃=U.

Назовем для краткости событие A_i, (i=1,2, ... ,N) возможным случаем. Пусть событие B является некоторым событием системы S, тогда B представляется в виде суммы некоторых возможных случаев A_i. Слагаемые A_i , входящие в разложениеB, назовем случаями, благоприятствующими событиюB, а их число обозначим буквой m.

Вероятность Р(B) события B равняется отношению числа возможных случаев, благоприятствующих событию B, к числу всех возможных случав, то есть

(2.1)

Из определения вероятности следует, что для вычисления Р(B) требуется прежде всего выяснить, какие события в условиях данной задачи, являются возможными случаями, затем подсчитать число возможных случаев, благоприятствующих событию B и найти отношение числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев.

Пример 1. Известно, что среди 11 приборов имеется 3 непроверенных. Какова вероятность при случайном безвозвратном отборе 5 приборов обнаружить среди них 2 непроверенных.

Решение. Перенумеруем все 11 приборов. Возможными случаями будем считать комбинации по пять приборов из 11,отличающиеся только номерами приборов, входящими в каждую комбинацию. Отсюда следует, что число всех возможных случаев будет равно числу сочетаний из 11 элементов по 5 элементов:

.

Для подсчета возможных благоприятствующих случаев учитываем, что 2 из 3 непроверенных приборов можно извлечь способами. Кроме того, 3 проверенных прибора можно выбрать из 8 имеющихся проверенных различными способами. Каждый вариант из двух непроверенных приборов комбинируется с каждым вариантом из трех проверенных, следовательно, число возможных случаев m, благоприятствующих событию А, вероятность которого требуется найти, равно . Отсюда

Рассмотрим некоторые свойства вероятностей, вытекающие из классического определения.

1. Вероятность достоверного события равна единице. Достоверное событие U обязательно происходит при испытании, поэтому все возможные случаи являются для него благоприятствующими и

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Число благоприятствующих случаев для невозможного события равно нулю (m=0), поэтому

3. Вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей. В силу того, что дробь не может быть числом отрицательным и большим единицы, справедливо неравенство: .

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Если известны вероятности данных событий А₁, А₂, ... А_n, то на основе теорем сложения и умножения вероятностей можно найти вероятность любого события, полученного из данных с применением операций сложения, умножения событий и противоположного события.

Прежде чем рассматривать теоремы сложения и умножения, определим основные понятия.

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе в результате испытания. Если события могут появляться одновременно в данном опыте, то они называются совместными.

Например, при бросании одной монеты события А= "Выпадение орла" и В= "Выпадение решки" вместе произойти не могут, поэтому они несовместны. Если изменить условия опыта и бросить две монеты, то события АиВ будут совместными.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого. В противном случае события называются зависимыми, а вероятность каждого из них, найденная при условии, что другое событие произошло, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В), Р(В/А).

Например, в урне находится 3 синих и 4 зеленых шара. Событие А заключается в том, что из урны вынули синий шар, событие В состоит в том, что из урны вынули зеленый шар. Если вынутый синий шар не был возвращен назад в урну до того, как был вынут зеленый шар, то события А и В будут зависимыми, так как вероятность события В, вычисленная по формуле классической вероятности, в данном случае будет равна 4/6, и эта вероятность отлична от вероятности события 4/7, то есть события зависимы.

Если же вынутый синий шар был возвращен назад, а затем вынут зеленый, то Р(В/ А) = Р(В) . И в этом случае события будут независимыми.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема 1. Вероятность противоположного события получается в результате вычитания из 1 вероятности события А, то есть .

Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Пример 1. Студенты Симонов и Миронов хорошо занимались по математике в течение года. Однако перед экзаменом студенту, как всегда, не хватает одного дня. Симонов и Миронов пришли на экзамен, подготовив каждый 22 теоретических вопроса и 24 практических из 25-ти. Преподаватель решил поощрить студентов за хорошую учебу и предложил Симонову ответить на теоретический вопрос, а Миронову – решить задачу. Какова вероятность того, что Симонов сдаст экзамен, а Миронов не сдаст?

Решение. Введем в рассмотрение события: А - Симонов сдал экзамен; В - Миронов сдал экзамен. По классической формуле вероятности находим P(A)= , Р(В) = . Отсюда вероятность события , заключающегося в том, что Миронов не сдал экзамен, равна

События A и независимы, поэтому

Теорема 3. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло, то есть. .

Пример 2 Из группы туристов в 36 человек, среди которых одинаковое число мужчин и женщин, случайным образом выбирают двоих. Какова вероятность того, что оба выбранных человека будут мужчинами?

Решение. Рассмотрим события: А – первый выбранный человек мужчина; В – второй выбранный человек мужчина. По формуле классической вероятности Р(А)= . В данной задаче событие В зависит от А и . Отсюда .

Теорема 4. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, то есть .

Пример 3. В агентстве на 15 число в наличии 7 путевок в Тунис, 3 – в Испанию и 2 – в Италию. Клиент берет одну путевку. Какова вероятность того, что это будет путевка в Европу?

Решение. Введем в рассмотрение события: А – клиент выбрал путевку в Тунис;

В – клиент выбрал путевку в Испанию; С – клиент выбрал путевку в Италию.

Событие В+С означает, что выбрана путевка в Испанию или Италию вынут. Поскольку события В и С несовместны, то Р(В + С) = Р(В) + Р(С) .

По формуле классической вероятности . Следовательно, .

Теорема5. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: .

Пример 4. В урне находится 10 шаров, занумерованных числами от 11 до 20. Из урны наугад извлекают шар. Найти вероятность того, что номер извлеченного шара окажется кратным 2 или 3.

Решение. Введем в рассмотрение события: А – номер извлеченного шара кратен 2 (числа 12, 14, 16, 18, 20). Общее число благоприятных исходов равно 5, тогда . В – номер шара кратен 3 (числа 12, 15, 18) и . События А и В совместны (номера 12 и 18 подходят для обоих событий), поэтому .