Средние значения

П лотность распределения вероятности дает полную информацию о свойствах случайной величины. Например, с помощью гистограммы несложно найти среднее значение.

Вернемся к примеру с резисторами. Пусть у нас есть гистограмма, построенная по результатам испытаний, где отложены доли резисторов, сопротивление которых оказалось в данном интервале (см. рисунок). Как (приближенно) найти среднее значение сопротивления? Сложность в том, что мы не знаем сопротивлений отдельных резисторов и их количества. Тем не менее, гистограмма дает всю необходимую информацию.

Можно приближенно считать, что все резисторы, попавшие в интервал (их количество равно ), имеют сопротивление  Ом (середина интервала). Более точной информации все равно нет. Тогда общая сумма сопротивлений всех этих резисторов равна . Повторяя те же рассуждения для остальных интервалов, получаем, что сумма сопротивлений всех резисторов равна , где – количество интервалов, а – середина каждого из интервалов. Чтобы найти среднее значение, эту сумму нужно разделить на общее количество резисторов :

.

Значения – это доли от общего количества, то есть, высоты столбцов гистограммы. Таким образом, мы можем (приближенно) найти среднее значение по гистограмме, не зная ни сопротивлений отдельных резисторов, ни даже их количества.

В теории вероятности среднее значение называется математическим ожиданием случайной величины и обозначается . Если известна плотность распределения , сумма заменяется интегралом

.

Аналогично можно найти среднее значение любой функции, умножив ее на плотность распределения и проинтегрировав произведение на всей оси. Например, средний квадрат вычисляется так

.

Среднее значение (математическое ожидание) не может полностью характеризовать случайную величину. На рисунках показаны мишени, пораженные двумя стрелками (каждый сделал по 5 выстрелов). В обоих случаях математическое ожидание – это центр мишени, то есть «в среднем» они бьют по центру. Однако всем понятно, что второй явно стреляет лучше. Как выразить это в виде числа?

У первого стрелка больше разброс точек попадания относительно средней точки. на языке теории вероятности разброс называется дисперсией – эта величина равна среднему квадрату отклонения от среднего значения . То есть, дисперсия вычисляется по формуле:

.

Раскрыв скобки в подынтегральном выражении, можно показать, что дисперсия равна разности среднего квадрата и квадрата математического ожидания:

.

Если математическое ожидание равно нулю, дисперсия и средний квадрат совпадают.

Использовать дисперсию не очень удобно, поскольку ее единицы измерения не совпадают с единицами измерения исходной величины (если измеряется в метрах, то дисперсия – в квадратных метрах). Поэтому на практике чаще применяют среднеквадратическое отклонение (СКВО)– квадратный корень из дисперсии:

.

В иностранной литературе эту величину называют стандартное отклонение.

Какие бывают распределения?

Существует бесчисленное множество разных распределений, но в технике применяются лишь некоторые из них.

Самое простое – это равномерное распределение. Например, снег в безветренную погоду ложится на плоскую поверхность равномерно – ровным слоем, который имеет одинаковую толщину во всех точках. Обычно предполагается, что ошибка квантования непрерывных сигналов в цифровом компьютере имеет равномерное распределение. Равномерное распределение на интервале описывается плотностью распределения

Самое важное распределение в практических задачах – нормальное распределение (распределение Гаусса), для которого график плотности распределения имеет форму колокола:

Здесь – среднее значение, а – среднеквадратическое отклонение случайной величины. Распределение Гаусса обладает несколькими замечательными свойствами:

1. сумма (и любая линейная комбинация) случайных величин с нормальными распределениями тоже имеет нормальное распределение;

2. если на величину действует множество независимых помех, ее плотность вероятности стремится к нормальному закону;

3. при прохождении случайного сигнала с нормальным распределением через линейную систему сигнал на выходе тоже имеет нормальное распределение.

Если нет никаких теоретических или экспериментальных данных о распределении случайной величины (например, шума измерений), чаще всего предполагают, что это распределение – нормальное.

В специальных задачах применяют и другие распределения. Например, установлено, что плотность распределения высот волн при морском волнении определяется законом Рэлея:

Например, так распределяются высоты волн при морском волнении.

Для моделирования случайных события в компьютерных моделях используют датчики псевдослучайных чисел (они похожи на случайные, но каждое следующее вычисляется по некоторой формуле, использующей предыдущие значения). Большинство датчиков «выдают» равномерно распределенные значения, из которых с помощью математических операций можно получить другие распределения.

Например, рассмотрим сумму нескольких независимых случайных значений, равномерно распределенных на симметричном интервале . Можно показать, что для суммы двух чисел получится треугольное распределение. Таким образом, складывая два случайных числа, полученных со стандартного датчика с равномерным распределением, мы получим числа с треугольным распределением. Для суммы трех чисел график состоит из кусочков парабол:

При увеличении график плотности распределения вероятностей становится всё больше похож на «колокол» нормального распределения. Доказано, что при больших распределение суммы чисел действительно стремится к нормальному (на практике часто берут ). Более того, это справедливо для суммы большого количества независимых случайных величин с любым распределением (не обязательно равномерным).