Гармонический сигнал

Рассмотрим гармонический сигнал

,

где – случайная фаза, равномерно распределенная в интервале от 0 до . Три реализации этого процесса (с разными фазами ) показаны на рисунке:

Это тоже случайный процесс, однако его отличие от «классических» случайных процессов состоит в том, что зная (или определив) случайную фазу , мы может вычислить значение этого сигнала при любом . Таким процессы называют квазидетерминированными. Как только фаза определена, процесс становится детерминированным (не случайным).

Использование формулы для усреднения по времени (1) дает

.

После несложных преобразований (применение формулы произведения синусов и интегрирование), получим .

Чтобы найти спектр такого сигнала, вычислим преобразование Фурье для корреляционной функции. По таблицам находим , поэтому

.

Это значит, что спектральная плотность состоит из двух дельта-функций для частот и , а в остальных точках равна нулю. Действительно, с самого начала было легко догадаться, что вся энергия такого сигнала сосредоточена на одной частоте.

Белый шум

В математике для теоретических исследований иногда удобно использовать математические объекты, которые нереализуемы на практике (например, дельта-функцию). В теории случайных процессов важную роль играет белый шум⁵, имеющий равномерную спектральную плотность по всем частотам, то есть, . Очевидно, что при этом площадь под кривой спектральной плотности (определяющая средний квадрат процесса) бесконечна, то есть сигнал имеет бесконечную мощность и не может существовать в природе.

Если нет никакой информации о свойствах случайных возмущений, действующих на системы, часто считают, что они приближенно описываются моделью белого шума. Если мы докажем, что даже в этом (наихудшем) случае характеристики системы останутся удовлетворительными, то они будут не хуже и при любой другой случайной помехе.

Корреляционная функция белого шума равна . Действительно, преобразование Фурье сразу дает

.

Значения такого сигнала отстоящие по времени на любой, сколь угодно малый интервал, некоррелированы. Это означает, что нет никакой зависимости между соседними, сколь угодно близко расположенными друг к другу, отсчетами такого случайного процесса. Корреляционная функция и спектральная плотность белого шума показаны на рисунках:

Белый шум, как сигнал с бесконечной энергией, невозможно получить на практике. При моделировании его обычно заменяют на белый шум с ограниченной полосой, который имеет равномерный спектр в полосе частот от до , и нулевой вне этой полосы:

.

Средний квадрат такого сигнала равен , а не бесконечности. Корреляционную функцию можно найти с помощью обратного преобразования Фурье:

.

Поскольку при любом целом , корреляционная функция равна нулю при всех , где – любое целое число, не равное нулю. Это значит, что значения, взятые из такого сигнала в моменты времени , (выборка с периодом ) будут некоррелированы.