2. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Примеры (основные дискретные распределения).

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n

Свойства математического ожидания. 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: М(С) = С 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С·М(Х) 3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) + ... + М(Х_n) 4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х₁ · Х₂ · ... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) · ... · М(Х_n)

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X) = (x₁ - M(X))²p₁ + (x₂ - M(X))²p₂ + ... + (x_n- M(X))²p_n = x²₁p₁ + x²₂p₂ + ... + x²_np_n - [M(X)]²

Свойства дисперсии. 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С² · D(Х) 3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁ ± Х₂ ± ... ± Х_n) = D(Х₁) + D(Х₂) + ... + D(Х_n)

Основные распределения дискретных случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона.

1.1 Биноминальное распределение

Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределение, если она принимает значения 0, 1, 2, …m… n с вероятностями

,

0< p <1, q = 1 – p, m = 0, 1, 2, …n

Как видно, вероятность значений находится по формуле Бернулли. Следовательно, биноминальный закон распределения представляет собой распределение числа Х = m, количества событий А, произошедших в n испытаниях. Бернулли, в каждом из которых событие A происходит с вероятностью p, а противоположное событие   с вероятностью 1- p.. Закон распределения биноминальной случайной величины Х в развёрнутом форме имеет вид:

- верхняя строчка - это совокупность числовых значений, которые может принимать случайная величина;

- нижняя строчка - вероятность события, что случайная величина примет эти значения.

Определение биноминального закона корректно, так как основное свойство ряда распределения   выполнено, ибо  , как было отмечено выше, есть сумма всех членов разложения бинома Ньютона:

Отсюда и название закона – биноминальный.

Числовые характеристики биноминального распределения:

М(Х) = np

D(X) = npq

1.2 Закон распределения Пуассона

Дискретная случайная величина Х имеет закон распределение Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, …m,… (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

,

где m = 0, 1, 2, …

Числовые характеристики распределения Пуассона:

М(Х) = λ

D(X) = λ

2. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины и их свойства. Математическое ожидание и дисперсия и их свойства.

Функцией распределения вероятностей называют функцию  , определяющую вероятность того, что случайная величина   в результате испытания примет значение, меньшее  , то есть: . Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения вероятностей есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.