Распределения Бернулли

Пусть проводятся n испытаний по схеме Бернулли (см. 4.4.3.). Событие А может произойти в результате этой серии опытов 0 раз, 1 раз, … n раз. Рассмотрим случайную величину — число испытаний в которых событие А произошло. Имеем дискретную с.в. с законом распределения

Х	0	1	…	k	…	n
Р			…		…

Также говорят, что с.в. Х распределена по биномиальномузакону с параметрами n и P и пишут X → B(n,p).

Если  n=1, то говорят, что с.в. Х имеет распределение Бернулли параметром P.

Теорема.

Пусть  X1,X2,...Xn — независимые с.в. распределенные по Бернулли с одинаковым параметром P. Пусть . Sn=X1+X2+...+Xn Тогда   Sn → B(n,p).

УСЕЧЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

- распределение вероятностей, получаемое из данного распределения перенесением массы, заключенной вне нек-рого фиксированного отрезка, на этот отрезок. Пусть вероятностное распределение на прямой задано функцией распределения F(х). Усеченным распределением, отвечающим F, наз. распределение с функцией распределения

В частном случае   У. р. наз. усеченным справа (слева).  Наряду с (1) рассматриваются У. р. вида

  или 

В (1) масса, сосредоточенная вне [ а, b],распределяется по всему отрезку [a, b],в (2) - помещается в точку   (в том случае, когда а<0<b в качестве счаще всего берется точка с=0), а в (3) эта масса помещается в крайние точки аи b.  У. р. вида (1) могут интерпретироваться следующим образом. Пусть X- случайная величина с функцией распределения F(x). Тогда У. р. совпадает с условным распределением случайной величины при условии а    С понятием У. р. тесно связано понятие усеченной случайной величины: если X - случайная величина, то усеченной случайной величиной наз. величина

  Распределение X^c является У. р. типа (3) по отношению к распределению X.  Операция усечения - переход к У. р. или усеченным случайным величинам - является весьма распространенным технич. приемом.

2. Примеры непрерывных распределений. (Равномерное, Показательное).

Показательное распределение (непрерывное)

Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Плотность распределения:

Где  _.

Числовые характеристики:  ,  , 

Плотность распределения при различных значениях  _.

24. Равномерное распределение (непрерывное)

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчётов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [-0,5; 0,5]), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчинённых заданному распределению.

Плотность распределения:

Числовые характеристики:  ,  , 

График плотности вероятностей:

2. Нормальный закон распределения и его основные характеристики.

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ

Нормальный (гауссовский) закон распределения задается плотностью распределения по формуле

 , - ¥ < x < +¥

Числа а ΠR и s > 0 называются параметрами нормального закона. Нормальный закон с такими параметрами обозначается N(a, s).

При а = 0 функция f(x) четная ( f(-x) = f(x) ) , ее график симметричен относительно оси OY, и поэтому среднее значение М(Х) = 0. График f(x) для закона N(a, s) получается из графика f(x) для N(0,s) сдвигом на а единиц вправо ( это известно из курса средней школы ), поэтому в общем случае М(Х) = а для нормального закона.

Дисперсия же вычисляется по формуле D(X) =s2.

2. Закон распределения системы случайных величин. Функция и плотность двумерной случайной величины и их свойства.