Условие устойчивости линейной стационарной системы.

Свободное движение при некратных корнях полностью описывается выражением, имеющим вид:

где

корни характеристического уравнения "вход- выход"

Характеристическое уравнение получается приравниваем нулю знаменателя невырожденной ПФ системы.

Тенденция к развитию, или прекращению свободного движения зависит только от знака действительных частей корней характеристического уравнения. Если абсолютно все корни имеют отрицательные действительные части, то все составляющие свободного движения затухают. Если, хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то общее решение неограниченно возрастает - система неустойчива.

Таким образом, прямым методом оценки устойчивости линейной системы является - определение корней характеристического уравнения системы.

На Рис.. показаны примеры собственного движения для системы второго порядка, при различных корнях характеристического уравнения.

Для проверки устойчивости, часто используют геометрическую иллюстрацию в комплексной плоскости корней Рис (широко применяется для изучения устойчивости при изменении положений корней в процессе работы системы)

Согласно такой иллюстрации условия устойчивости для устойчивости системы все корни должны быть "левыми". Мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.

Формулировка условия устойчивости составляет суть "первой методы" Ляпунова А.М.

Если имеется хотя бы одна пара мнимых корней, а все остальные "левые", то система находится на границе устойчивости (нейтрально-устойчивая система).

Если имеется полюс в начале координат (а все остальные "левые"),то система нейтральна.

Следует заметить, что реальные системы нелинейны. В частности, при больших начальных отклонениях уравнения движения изменяются. Поэтому "первая метода" Ляпунова А.М. характеризует устойчивость " в малом" и применяется только для линейных (или линеаризуемыхз) систем управления.

Критерии устойчивости.

Критерии устойчивости - это правила, позволяющие оценить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Наличие таких правил существенно упрощает анализ устойчивости линейных систем. Различают две группы критериев: алгебраические и частотные.

Алгебраические критерии основаны на связи коэффициентов характеристического уравнения системы с его корнями.

Большую роль в решении этой задачи имеют работы швейцарских математиков Рауса Е.Д (1877 г.) и Гурвица (1882 г.),посвященные поиску условий существования отрицательности корней характеристического уравнениями, определяющих устойчивость решения дифференциального уравнения. С их именами связаны названия алгебраических критериев устойчивости линейной системы.

Для систем регулирования небольшого порядка (не более пятого) применяется алгебраический критерий Гурвица. Критерий Рауса в основном используется для систем высокого порядка, его алгоритм удобен для применения ЭВМ.

При анализе устойчивости систем управления на основе частотного метода (применение АФЧХ) основополагающими являются работы Найквиста (1932 г.),Михайлова А.В.(1936 г. Первое применение ЛЧХ для решения задач устойчивости связано с именами Боде, Никольса (1949-1951 г).

Общие критерии устойчивости нелинейных систем (вторая метода Ляпунова А.М) разработаны Ляпуновым А.М.(серия публикаций в 1892 г). Систематическое изложение теории появилось в 1935 г.("Общая задача устойчивости движения".)

Большое значение для развития теории имели работы Жуковского Н.В.( статья в "Ученых записках Московского Университета" - " О прочности движения")..В теории устойчивости нелинейных систем важны работы Крылова Н.М. Боголюбова (1932 г) посвященные устойчивости продольного движения аэроплана.