Лекция 2.4. Динамическая точность линейных стационарных следящих систем при неслучайных воздействиях

Под динамической точностью следящей системы понимается разность входной и выходной переменных в каждый момент времени. Данная разность переменных системы является первичным сигналом управления системы и называется динамической ошибкой системы. Точность следящей системы характеризуется величиной динамической ошибки. Поскольку динамическая ошибка является координатой (переменной) линейной системы, то, в соответствии с принципом суперпозиции, может быть получена, как сумма отдельных составляющих, каждая из которых связана с конкретным воздействием.

Исследуем динамическую ошибку системы, вызванную входным (управляющим) воздействием.

Согласно Рис., изображение динамической ошибки равно:

где

-передаточная функция ошибки системы относительно входного воздействия.

Если ПФ разомкнутой системы представлена в виде:

где

М(s) и D(s) -полиномы, то

В этом выражении - N(s) - характеристический полином замкнутой системы. Данное выражение ( после применения обратного преобразования Лапласа) дает дифференциальное уравнение связывающее ошибку системы и воздействие. Его называют диифференциальным уравнением ошибки.

При нулевых начальных условиях динамическая ошибка системы при детерминированном воздействии описывается частным решение этого дифференциального уравнения.

Если система устойчива, то такое решение содержит, затухающую со временем, переходную составляющую динамической ошибки и установившуюся составляющую ошибки, которая существует до тех пор пока существует воздействие.

Обе данные составляющие ошибки характеризуют вынужденную динамическую ошибку системы.

Если начальные условия ненулевые, то добавляется еще одна составляющая - свободная (собственная)составляющая ошибки.

Таким образом, динамическая ошибка системы, при нулевых начальных условиях, определяется суммой:

Иллюстрация приведена на Рис.

Точное описание такой динамической ошибки получается после решения дифференциального уравнения ошибки.

Помимо входного( полезного) воздействия на систему действуют возмущения, которые являются причинами дополнительных составляющих динамической ошибки.

Например, согласно структурной схеме Рис. и принципа суперпозиции, справедливого для линейной системы можно записать выражение для изображения полной (суммарной)ошибки системы:

В качестве примера, рассмотрим следящую систему с тремя воздействиями Рис.. Для определения отдельных передаточных функций ошибки используем преобразование структурной схемы, заключающееся в том, что структурная схема преобразуется так, чтобы входной переменной было рассматриваемое воздействие, а выходной – динамическая ошибка от данного воздействия.

Определим составляющую динамической ошибки от возмущения на входе системы. Рис..

Используя формулу замыкания контура, получаем:

Заметим, что данное возмущение преобразуется в ошибку системы той же ПФ (отличается только знак),что и входное управляющее воздействие в выходную координату системы. Поэтому, желание приблизить динамику системы к идеальной в отношении воспроизведения входного (полезного) воздействия одновременно увеличивает составляющую динамической ошибки от данного возмущение. Следовательно, существует техническое противоречие, которое можно разрешить только путем компромисса. В любом случае это противоречие ограничивает динамическую точность.

Определим составляющую динамической ошибки от возмущения, действующего на выходе. Проведем преобразование структурной схемы к причинно-следственному виду Рис. и определим ПФ замкнутого контура. Получаем:

Заметим, что данное возмущение преобразуется в динамическую ошибку системы той же ПФ (отличается только знак),что и управляющее воздействие. Следовательно, меры, направленные на уменьшение динамической ошибки системы относительно этих двух воздействий , имеющих( в общем случае) разные спектры, должны быть согласованы, так как требуют формирования одной и той же передаточной функции Данный процесс формирования должен учитывать ряд противоречивых факторов :

-различные требования к величине допустимых составляющих динамической ошибки;

-различную динамику воздействий:

- сохранение желаемого запаса устойчивости.

В условиях одноконтурной структуры следящей системы такое компромиссное решение, особенно, при высоком требовании к точности системы, весьма затруднительно.

Суммируя составляющие вынужденной динамической ошибки системы от рассмотренных воздействий, получаем выражение для изображения полной динамической ошибки системы:

Данное выражение можно использовать для определения как переходной, так и установившейся составляющих динамической ошибки системы.

Рассмотрим установившуюся динамическую ошибку следящей системы при гармонических воздействиях

Для определения установившейся динамической ошибки в этом случае удобно использовать частотные характеристики ошибки. Динамическая ошибка линейной системы на гармоническое воздействие, согласно особому свойству линейной стационарной системы, является гармонической функцией той же частоты.

При анализе динамической ошибки при таком воздействии интерес представляет ее амплитуда – максимальное значение. Поэтому для определения динамической ошибки достаточно использовать только амплитудно-частотные характеристики (ЛАХ).

Так, получим ЛАХ ошибки от входного (полезного) воздействия.

Пусть, в качестве примера, ПФ разомкнутой системы имеет типовой, для систем среднего класса точности, вид:

Построим ЛАХ разомкнутой системы и рассмотрим ее связь с ЛАХ ошибки от входного воздействия Рис.

Проведем две прямые параллельные оси частот на уровне +20дБ/дк и -20дБ/дк. Пересечение верхней прямой с ЛАХ определяет тот диапазон частот единичной отрицательной обратной связи , в котором она является глубокой (низко- частотный диапазон частот)

Пересечение нижней прямой с ЛАХ определяет диапазон частот, в котором характеристики замкнутой системы близки к характеристиками разомкнутой системы так, как действие обратной связи здесь не эффективно (высоко-частотный диапазон частот).

Область частот расположенная между ближайшими пределами, указанных диапазонов, относится к среднему диапазону частот разомкнутой системы (поведение ЛАХ в этом диапазоне связано с запасом устойчивости системы.)

Учитывая ранее полученное выражение для ПФ ошибки относительно входного управляющего воздействия, получаем:

В области низких частот и поэтому, согласно свойству глубокой отрицательной обратной связи, справедливо приближенное равенство:

Выражение показывает, что в этом диапазоне частот ЛАХ ошибки является зеркальным отображением ЛАХ разомкнутой системы Рис.. Поскольку каждая ордината ЛАХ ошибки представляет отношение амплитуды ошибки к амплитуде воздействия, то очевидно, чем ниже лежит эта ЛАХ, тем меньше амплитуда динамической ошибки, тем выше точность системы. Справедливо также (в силу осевой симметрии характеристик) утверждение - чем больше область, заключенная между осью частот и ЛАХ разомкнутой системы (при стабильности частоты среза), тем выше точность системы.

Назовем данную область (заштрихована) «областью усиления» контура .

Следовательно, для уменьшения динамической ошибки от рассматриваемого воздействия следует стремиться к увеличению области усиления контура в диапазоне частот этого воздействия.

В высокочастотном диапазоне ,справедливо приближенное равенство:

. Следовательно, ошибка системы приближенно равна воздействию, обратная связь не контролирует изменение выходной переменной.

В области средних частот, являющейся переходной между рассмотренными выше характеристиками, для точного построения ЛАХ ошибки можно воспользоваться формулой замыкания контура. При этом ПФ ошибки преобразуется к виду:

При гармоническом воздействии амплитуда ошибки определяется умножением амплитуды воздействия на значение ординаты АЧХ ошибки на частоте воздействия. Если используется ЛАХ ошибки, то предварительно следует перейти от значений ординаты ( в децибелах) к относительной безразмерной величине:

где

а - значение ординаты ЛАХ ошибки на частоте воздействия в дБ.

Оценим связь динамической точности системы с запасом устойчивости.

Характеристики динамической точности противоречиво связаны с характеристиками переходного движения системы. Например, если попытаться простым увеличением коэффициента передачи разомкнутой системы увеличить область усиления контура, то это приведет к нарушению требований к параметрам среднечастотного участка ЛАХ и изменению запаса устойчивости (запас устойчивости уменьшается, переходный процесс системы ухудшается).

При сохранении симметрии ЛАХ (сохранение запаса устойчивости) относительно оси частот увеличение точности возможно только за счет увеличения частоты среза (увеличение полосы пропускания системы), и, следовательно, смещения всех сопрягающих частот вправо. Такое решение ограничено :

во-первых - увеличиваются требования к динамике элементов системы (усложняется их технология и повышается стоимость);

во – вторых с ростом частоты среза увеличивается динамическая ошибка от возмущений на входе системы.

Приводим к заключению – желаемая ЛАХ разомкнутой системы должна удовлетворять противоречивым требованиям, связанным с заданной динамической точностью при воздействиях, имеющих различную динамику, требуемым запасом устойчивости системы - при минимально-возможной частоте среза (полосе пропускания)

Если требования к системе заданы и воздействия определены, то возникает вопрос о том, какой вид и параметры должна иметь ЛАХ разомкнутой системы, чтобы данные требования были обеспечены, причем,- наиболее доступными средствами.

Понятие максимальной доступности (или простоты реализации) связывают с минимально-возможной частотой среза ЛАХ при минимально-возможной ее "областью усиления" .

Для удобства проектирования системы выделяют типовые ЛАХ, ориентированные на системы различного класса.

Так для систем невысокой точности, с определяющим требованием к качеству переходного процесса, применяют ЛАХ с одной низкочастотной асимптотой, имеющей наклон равный -1 (например, рулевые приводы, ГСН, системы стабилизации ЛА)

Для систем средней точности низкочастотные асимптоты две (первая с наклоном -1,вторая с наклоном-2) ( например, системы наведения локаторов, системы ППУ).

Для систем повышенной точности наклоны первой и второй асимптоты возрастают.

Типовые ЛАХ принято обозначать по наклону низкочастотных асимптот в направлении увеличения частоты (например,1.1.1 - желаемый ЛАХ первого типа,1.2.1 - желаемый ЛАХ второго типа;1.3.1,2.3.1,3.3.1- желаемые ЛАХ третьего типа). Типовые варианты желаемых ЛАХ разомкнутой системы приведены на Рис.