2.2. Использование качественной теории важности критериев при принятии решений

Определение важности критериев возможно в случае их (критериев) однородности, т.е. критерии должны иметь сопоставимый вид. Условиями однородности критериев являются: 1) наличие единой (общей) шкалы; 2) каждая градация шкалы должна отражать одинаковый уровень предпочтений для каждого критерия.

Требованиями для градаций шкалы (требованиями к шкале) являются: 1) градации нумеруются в порядке возрастания предпочтительности оценок критериев, для работы с которыми используются шкалы; 2) номера градаций шкалы отражают упорядоченность оценок критерия по предпочтениям; 3) с номерами градаций не могут быть выполнены какие-либо арифметические операции для получения оценок предпочтений; 4) решения (для реализации требования их однородности) оцениваются по всем критериям в единой бальной шкале, при этом градации шкалы (отражающие степень предпочтения одного решения перед другим) для всех критериев являются одинаковыми.

В этом случае используемая для определения оценок критерия (критериев) шкала (шкалы) является качественной, все критерии являются однородными, т.е. имеют единую порядковую шкалу. В случае неоднородных критериев (вес, стоимость, площадь) перед сравнением этих критериев по важности их нужно привести к единой порядковой шкале с одинаковым числам градаций . Т.е. критерии не нормализуются по формуле , а их исходная шкала разделяется на частей таким образом, чтобы некоторый l-ый интервал исходной шкалы соответствовал l-ой градации обобщенной шкалы. Тогда любое значение критерия , принадлежащее l-му интервалу, интерпретируется как l-я градация формируемой единой шкалы.

Качественными оценками важности критериев являются суждения вида: «Критерий важнее критерия ». Для формализации важности критерия по отношению (по сравнению) с критерием также как и для решений может быть использовано отношение предпочтения и безразличия (эквивалентности) ~. Т.е. выражение вида означает, что критерий важнее (предпочтительнее) критерия , а ~ – что критерии являются эквивалентными. Если и ~ , то критерий важнее критерия, а критерии и эквивалентны.

Обозначим через некоторую векторную оценку для решения . Вид векторной оценки: . Через обозначим векторную оценку решения , полученную из оценки путем перестановки в ней i-ой и j-ой компонент (т.е. и ).

Пример формирования векторных оценок . Исходная векторная оценка: , , .

Критерии и равно важны (эквивалентны с точки зрения важности) если две векторные оценки и одинаковы по предпочтению. Т.е. если перестановка значений i-го и j-го критериев в векторной оценке позволяет получить векторную оценку эквивалентную .

Пример перестановки в векторе оценок критериев для равно важных критериев и . Исходная векторная оценка имеет вид . Критерии и являются равно важными (т.е. и ).

Тогда формируемая векторная оценка будет являться эквивалентной оценке , т.е. ~ при ~ (где ~ – отношение эквивалентности, т.е. критерии не различаются с точки зрения их важности и векторные оценки тоже не могут быть сравнимы с использованием отношения , векторные оценки фактически не изменились при перестановке значений критериев). Т.е. перестановка оценок и соответствующих критериев позволяет получить для дальнейшего анализа вектор оценок , который эквивалентен исходному вектору .

Пример перестановки в векторе оценок критериев при условии разной важности критериев.

К ритерий является более важным, чем критерий . Исходная оценка имеет вид . Тогда оценка . При этом полученная оценка не является эквивалентной исходной оценке , т.к. рассматриваемые критерии не равны по важности. Т.к. критерий более важный, чем критерий , то получаемая оценка является худшей, чем исходная оценка по значению первого (более важного критерия). Таким образом, исходная оценка , оценка . При этом ~ , т.к. , то .

Т аким образом, с точки зрения качественной теории важности критериев возможны следующие ситуации: , , ~ , и являются несравнимыми по важности ~ .

Введем в рассмотрение обозначения: ~_ij – отношение эквивалентности векторных оценок, вторая из которых получена путем перестановки i-го и j-го элементов в первой; – отношение предпочтения векторных оценок, вторая из оценок получена путем перестановки i-го и j-го элементов в первой. Тогда в рассмотренных примерах ~₂₃ и . Т.е. предпочтение векторных оценок вида – это предпочтение, полученное в результате сравнения значений скалярных оценок критериев на соответствующих позициях, а - предпочтение первой векторной оценки перед второй, полученной в результате перестановки скалярных оценок в 3-ей и 4-ой позициях при условии разной важности критериев и , при этом по критерию в полученной оценке меньшее значение.

Дополнительной информацией для определения предпочтений ЛПР с точки зрения важности критериев, используемой для принятия решений, является информация о предпочтительности (важности) критериев или их эквивалентности (безразличии при анализе оценок для соответствующих критериев). Пример дополнительной информации о предпочтениях ЛПР, используемой в рассуждениях выше, имеет вид: ~ .

Таким образом, комбинируя отношения _ij ,~_ij и отношение для векторных оценок (соответственно, решений), можно выполнить сравнение по предпочтению всех векторных оценок с использованием информации .

Тогда могут быть определены (сформированы) новые отношения , порождаемые информацией о предпочтениях ЛПР с точки зрения важности критериев . Обозначим отношение предпочтения , формируемое для векторных оценок решений x с использованием дополнительной информации через .

Пример использования качественной информации о важности критериев при решении двухкритериальной задачи. Вид информации , даны две векторные оценки , .

Т.к. векторные оценки не сравнимы между собой (т.е. и и , ) тогда при отсутствии предпочтений ЛПР с точки зрения важности критериев эффективное решение не может быть определено.

При учете информации о важности критериев в векторной оценке выполнена перестановка скалярных оценок (в позициях 1 и 2, соответствующих информации ). В результате получена модифицированная векторная оценка . Т.к. для критериев и выполняется , тогда для оценок и выполняется (т.к. значение по первому критерию является более важным, чем значении по второму), т.е. . Полученная оценка может быть соотнесена с оценкой , при этом или . В итоге получены две пары отношений: для , и , в виде: и (либо и ), которые в сокращенной форме могут быть записаны в виде последовательности отношений: .

Т.к. через обозначено отношение предпочтения, полученное с использованием дополнительной информации о важности критериев, тогда , .

Пример использования дополнительной информации о равной важности критериев и при выборе эффективного решения.

Вид информации ~ , вид векторных оценок , . Тогда , , , , ~ (где ~ – отношение безразличия (не сравнимости) двух векторных оценок и, соответственно, решений). Использование информации о равной важности критериев для ЛПР позволяет на основе оценки сформировать оценку в виде: . При этом ~₁₂ , так как при этом , то следовательно и .

Вариант (решение) , такой, для которого не существует решений таких, что называется не доминируемым (по отношению ), т.е. . Таким образом, решение является не доминируемым по отношению , т.е. с учетом дополнительной информации о важности критериев. Тогда может быть сформировано множество не доминируемых решений: . Только среди этих решений может быть выбрано эффективное.

Алгоритм формирования множества содержит рассматриваемую ниже последовательность шагов:

1) сформировать первоначальный вид множества не доминируемых решений следующим образом: , где - общее количество решений;

2) выполнить проверку условия доминирования решением решения (условие вида для всех и для одного ), при этом ; если условие доминирования решения решением выполняется, то исключить из множества не доминируемых решений ;

3) шаг 2 повторить для каждого решения ( ), исключая из множества на каждом шаге доминируемые решения ;

4) для решения в соответствии с информацией о важности критериев , содержащей отношение предпочтения для критериев , сформировать на основе векторной оценки новую векторную оценку , получаемую в результате перестановок значений скалярных критериев и (значения и );

5) проверить выполнение условия доминирования для векторных оценок и , если условие выполняется, тогда выполнить проверку условия доминирования векторных оценок векторной оценкой (при этом проверка выполняется последовательно для каждого l-го решения, где ); если условия доминирования оценки оценкой выполняется (т.е. и, соответственно, ), то решение исключается из множества как доминируемое : ;

6) изменение индекса текущего рассматриваемого решения (переход к следующему решению), доминирование которым остальных решений ( ) в соответствии с отношением будет исследоваться (при учете текущей информации о важности критериев ); если решение , для которого исследуется доминирование им остальных решений ( ), имеется в наличии , тогда выполнить переход к шагу 4;

7) если для всех решений выполнена проверка доминирования ими (текущим рассматриваемым решением ) других решений ( ) в соответствии о текущей информацией о важности критериев , то в выполнить переход к следующей информации о важности критериев , если и в имеется информация о важности критериев , то выполняется переход к шагу 4;

8) если в дополнительная информация о предпочтительности критериев отсутствует, то выполняется переход к информации об эквивалентности критериев ~ ;

9) в соответствии с информацией об одинаковой важности критериев и для некоторого решения на основе его векторной оценки формируется новая векторная оценка , где и - позиции в векторе критериев, являющихся одинаковыми по важности; полученная оценка в силу равной важности критериев и ( ~ ) является эквивалентной исходной оценке (т.е. проверять условие доминирования не требуется, ~ );

10) проверка выполнения условия доминирования векторных оценок ( ) полученной векторной оценкой ; если условие доминирования оценки оценкой (условие ) выполняется, тогда реализуется (т.е. доминирование с учетом дополнительной информации о равной важности критериев); тогда решение исключается из как доминируемое : ;

11) изменение индекса рассматриваемого решения (переход к следующему решению), т.е. выполняется переход к решению, доминирование которым остальных решений ( ) будет исследоваться (при учете дополнительной информации об одинаковой (равной) важности критериев и ( ~ )); при наличии решения (условие ), доминирование которым решений при учете ~ будет исследоваться, выполняется переход к шагу 9;

12) в случае, если проверка для всех ( ) условия доминирования ими решений ( ) (с учетом текущей рассматриваемой дополнительной информации ~ ) выполнена, тогда при условии в выделяется информация, касающаяся эквивалентности других критериев ( ~ ), индекс текущего рассматриваемого решения задается равным ( , рассматривается решение ), выполняется переход к шагу 9.

Примечание. Необходимость исключения решений из множества исследуется первоначально с точки зрения разной важности критериев и (предпочтений для критериев и – ), а затем с точки зрения одинаковой важности критериев ( ~ ). Это объясняется тем, что дополнительная информация , используемая при принятии решений, представляется в виде двух матриц – первая матрица предпочтений для критериев ( если и , если ), вторая матрица «эквивалентных» критериев (критериев, имеющих одинаковую важность, ~ ).

Пример матрицы предпочтений критериев и матрицы отношения эквивалентности критериев (с одинаковой (равной) важностью).

Пример применения алгоритма многокритериального поиска эффективных решений при учете важности критериев для задачи ранжирования студентов.

Информация о важности критериев имеет следующий вид:  . Векторные оценки для каждого решения приведены в Таблице 1. Рассматривается решение . Т.к. , то на основе векторной оценки может быть сформирована модифицированная векторная оценка . Однако оценка предпочтительной оценки в силу важности: критериев ( или ). Сравниваем векторную оценку с векторной оценкой с точки зрения выполнения условия для всех ( ) и для одного . Т.к. эти условия выполняются, то , при этом т.к. ~ , то . Таким образом:

; ~ .

Для решения выполним модификацию его векторной оценки следующим образом: , . Если бы оценка доминировала оценку , тогда при имели: , но т.к. , то , следовательно, решение не может быть исключено из множества . Рассмотренным действием была учтена важность критериев вида в . Проинтерпретируем информацию об одинаковой важности и в . Для и изменение позиций оценок и не имеет смысла т.к. оценки и при этом не изменяются, исключены из рассмотрения, поэтому информация ~ может быть применена только к решениям и . Для решения на основе его векторной оценки при учете ( ~ ) может быть сформирована новая векторная оценка , т.к. ~ , то ~ . Сравнение с показывает, что ~ . Тогда может быть сформирована следующая цепочка: ~ ~ , поэтому в итоге ~ и ~ . Поэтому множество недоминируемых решений , сформированное с учетом информации о различной и одинаковой важности критериев, будет иметь вид: .