5. Контрольные вопросы

5.1. Что означает понятие функции полезности ?

5.2. В чем заключается условие определения эффективного решения с использованием функции полезности?

5.3. В чем состоит связь системы предпочтений ЛПР и определяемых значений двумерной функции полезности?

5.4. Как интерпретируется понятие отношения безразличия для пары решений и какие причины обуславливают его использование?

5.5. Как формулируются условия существования двумерной функции полезности?

5.6. Каким образом отношение интерпретируется как условие слабого упорядочивания решений, какие условия должны выполняться для того, чтобы отношение интерпретировалось как условие слабого упорядочивания решений?

5.7. В чем заключаются аксиомы полезности, используемые при принятии решений (условия существования функции полезности)?

5.8. Какой порядок действий при реализации алгоритма определения значений одномерной функции полезности с использованием множеств и (каким образом с использованием множеств и для текущего рассматриваемого решения может быть вычислено значение его функции полезности)?

5.9. В чем заключается понятие класса эквивалентности ( ) при определении значений функции полезности ?

5.10. Каковы свойства отношения предпочтения для классов эквивалентности?

5.11. Какой порядок действий в алгоритме определения значений функции полезности для эквивалентности множества /~ ?

5.12. Каким образом выполняется вычисление значений при найденных значениях функции полезности классов эквивалентности ?

5.13.Что такое многомерная функция полезности?

5.14. В чем заключается понятие замещения по полезности, уступки и приращения?

5.15. Каким образом используется принцип замещения при построении функции полезности

5.16. Что такое кривая безразличия с точки зрения функции полезности?

5.17. Каким образом предпочтения ЛПР интерпретируются с точки зрения кривых безразличия

5.18. В чем заключается условие соответственных замещений и что оно определяет?

5.19. Какой порядок действий алгоритма формирования кривых безразличия и вычисления значений оценок одномерных функций полезности и ?

5.20. В чем заключается способ вычисления коэффициента масштабирования j?

5.21. Каков общий порядок действий при определении эффективных решений с использованием двумерной функции полезности?

5.22. Каким образом и для каких целей в алгоритме принятия решений на основе двумерной функции полезности выполняется определение эквивалентных решений и ?

Лабораторная работа №3 исследование применения теории важности критериев для решения задачи выбора альтернатив

1. Цель работы: исследовать применение аппарата теории важности критериев при принятии решений по выбору альтернатив

2. Теоретическое введение

2.1. Общие понятия теории важности критериев

Основное понятие, используемое при решении многокритериальных задач – это понятие относительной важности критериев. С точки зрения важности критериев определены понятия «один критерий важнее другого», «критерии равноважны» (имеют одинаковую важность), на основе этих понятий сформулирована качественная теория важности критериев. Развитие качественной теории важности критериев определило количественное сравнение важности критериев (т.е. «во сколько раз один критерий важнее другого»).

Математическая модель задачи принятия решений при многих критериях и учете их (критериев) важности имеет вид: – множество решений; – векторный критерий; ,~ – отношения предпочтения и безразличия ЛПР соответственно; - некоторое i-е решение, характеризуется значениями критериев ; – некоторый частный критерий. Тогда векторный критерий К имеет вид , т.е. векторный критерий К – это упорядоченный набор критериев. Тогда решение характеризуется векторный его оценкой в виде . Через может быть обозначено множество возможных значений критерия , тогда - множество всех векторных оценок, соответствующих возможным решениям, где – декартово произведение множеств.

Пример постановки задачи многокритериального принятия решений.

Определено (задано) множество из 7 студентов, каждый из которых получил оценки по 4 предметам, тогда =7, количество критериев равно 4, – оценки j-го критерия для i-го студента (т.е. оценка для i-го студента по j-му предмету). Таким образом, , шкала для каждого критерия имеет вид . Полученные данные сведены в Таблицу 1.

Таблица 1. Скалярные оценки критериев для решений ( )

Варианты	Критерии
	3	5	5	4
	4	4	4	5
	5	4	3	3
	3	5	3	5
	4	2	4	5
	3	5	3	5
	5	3	4	3

Требуется выбрать лучшего по успеваемости студента из семи претендентов, учитывая оценки по четырем предметам. Наряду с приведенными векторными оценками вариантов могут быть указаны возможные векторные оценки, тогда , . Сравнение вариантов осуществляется на основе их векторных оценок. Варианты и являются эквивалентными ( ~ ).

Если через обозначено отношение предпочтения, тогда для и является верным:

, т.к. для оценок , а по критерию k₂ решение строго лучше решения ( ). Таким образом, решение является предпочтительнее решения , так как по всем оценкам , а по одной оценке вариант строго лучше ( ), тогда . Для векторных оценок и отношение не реализуется, так как однозначно для них введенные условия предпочтения не выполняются. Таким образом, и в итоге , и векторные оценки для решений и сами эти решения являются несравнимыми с использованием отношения . Аналогичные выводы могут быть сделаны для пар решений: . Таким образом, приведенные в парах решения являются несравнимыми по отношению . Так для решений и вектора оценок имеют вид: и , для критерия имеем , хотя , поэтому и – несравнимы.

Если выполняется, то решение является доминируемым и не может быть выбрано наилучшим.

Решение такое, что , называется недоминируемым (оптимальным по Эджворту-Парето). Множество таких решений – множество Эджворта-Парето обозначим как . Решение доминируется решением , а все остальные решения являются несравнимыми с использованием отношения , то для рассматриваемого случая имеем при этом ~ . Т.к. , то не может быть выбрано решение являющееся наилучшим, поэтому должна быть привлечена дополнительная информация о предпочтениях ЛПР. Для этого могут быть использованы следующие виды дополнительной информации: 1) сведения об относительной важности критериев; 2) сведения о шкалах критериев. Вид дополнительной информации обозначим как , тогда ~ и – отношения, вытекающие из этой информации.

Простейший способ скаляризации оценок критериев - это формирование обобщенного критерия на основе аддитивной свертки следующим образом:

, (1)

где – обозначение оценки обобщенного (агрегированного) критерия, – коэффициенты важности (веса) критериев, .

В случае одинаковой важности критериев , а значение для рассматриваемого примера представляет собой средний балл. Т.к. в рассматриваемом случае разные дисциплины могут иметь разную значимость, следовательно должна быть определена относительная важность критериев и значения в выражении (1). Таким образом, базовые методы анализа (и решения) многокритериальных задач основаны на свертывании набора исходных критериев в один обобщенный (агрегированный, в частности используется аддитивная свертка) критерий, имеющий вид взвешенный при помощи коэффициентов важности суммы исходных критериев. Однако данные методы обладают рядом недостатков, ограничивающих их использование.

При многокритериальном принятии решений должна быть учтена информация о предпочтениях ЛПР (какой из критериев является более предпочтительным), выраженная в виде сведений об относительной их (критериев) важности. При этом сведения об относительной важности критериев должны быть строго формализованы.