3. Матриці. Операції над матрицями. Обернена матриця. Матричний спосіб розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпчиків. Їх позначають великими літерами A,B,C і т.д.

Типи матрець:

1. Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю називається одиничною матрецею.

2. Якщо всі елементи матриці, що знаходяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця назівається трикутною.

3. Якщо візначник відмінний від нуля, то матриця називається неособливою або невиродженою.

4. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця особліва або вироджена.

Дії над матрицями.

Сумою матрець одного порядку і називається матриця C=A+B; будь-який елемент, який дорівнює сумі відповідних елементів матриць A і B: .

Добуток матриці на деяке число a називається така матриця С , кожен елемент якої одержується множенням відповідних елементів матриці A на a,

Суми матрець і добутку матрець виконуються рівності:

1. A+B=B+A; 2. aA=Aa 3. a(A+B)=aA+aB 4. (a+b)A=aA+bA 5. a(bA)=(ab)A

Оберненна матриця.

Матриця називається оберненною матрицею для квадратної, невиродженної А, якщо виконується співвідношення: .

Оберенні матриці існують для квадратних не особливих матриць.

Розв’язування систем рівнянь за допомогою оберненної матриці.

Знаходять обернену матрицю таким чином:

1.

2. Алгебрарічні доповнення , до всіх елементів матриці А.

3. З алгебрарічнихдоповнень сскладають матрицю в яку записують алгебраїчні доповнення не в звичайному порядку, а в транспоновану -

4.

4. Метод Гауса. Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі.

Метод Жорданна-Гаусса.

Розв’язання рівнянь методом Г-Ж здійснюється за допомогою розрахункової таблиці в яку записують коофіцієнти при невідомих, стовпчики вільних членів і контрольний стовпчик.

В контрольний стовпчик 1-ого стовбця записують сумму елементів по рядках. Елементи контрольного стовпчика 2-ого і наступних таблиць продовжують за правилом прямокутника. Контроль здійснюють так: якщо скма елементів рядка, крім останньго дорівнює останньму елементу, то обчислення зроблене вірно.

Розв’язування продовжується доки ми не отримаємо стільки одиночних векторів, скількі залишилося рівнянь.

Рангом матриці A розмірність mXn називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора утворенного з елементів матриці. Позначають ранг – r чи r(A)

Теорема: система лінійних алгебрарічних рівнянь сумісна тоді, і тількі тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширенної матриці.

Однородні системи рівнянь.

Система однородних лнійних рівнянь має нетральні розв’язки тоді, і тільки тоді, коли

Теорема Кронекера-Капеллі: Для того щоб система рівнянь була сумісною (мала розвязок), необхідно і достатньо щоб ранг основної матриці А дорівнював рангу розширеної матриці .

5. Геометричні вектори. Лінійні операції над векторами. Розклад вектора за базисом. Скалярний добуток векторів.

Геометричний вектор  - величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком.

Графічно вектори зображають у вигляді напрямлених відрізків певної довжини

Два вектори називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються.

Два вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих.

Вектори є ортогональними тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю

Вектори є колінеарними тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нулю.

             Вектори називаються компланарними, якщо вони паралельні деякій площині (або лежать в одній площині).

            Два вектори називаються рівними тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову довжину і однаковий напрямок, тобто вони розміщені на паралельних прямих.

Звідси випливає, що при паралельному перенесенні вектора одержуємо вектор, рівний даному. Тому початок вектора можна розміщувати у будь-якій точці простору.

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним.

Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називається нульовим. Він не має конкретного напрямку

Багато алгебраїчних дій мають свої аналоги і для векторів: вектори можна додавати, віднімати, множити і ділити. Для цих операцій діють багато правил алгебри, як, наприклад, комутативність, асоціативність та дистрибутивність

Властивості додавання векторів

1) властивість нульового вектора: a+0=a; 2) асоціативність додавання: (a+b)+c=a+(b+c); 3) комутативність додавання: a+b=b+a;

Властивості множення вектора на число 1) комутативність: λa=aλ;

2) асоціативність: λ(μa)=(λμ)a;

3) дистрибутивність відносно додавання векторів: λ(a+b)=λa+λb; 4) дистрибутивність відносно додавання чисел: (μ+λ)a=μa+λa;

            Проекцією вектора на вісь  називається довжина відрізка  осі , що міститься між проекціями початкової точки  і кінцевої точки , взята із знаком “+”, якщо напрямок  збігається з напрямком осі проекції, та із знаком “-”, якщо ці напрямки протилежні.

            Легко довести основні положення теорії проекцій:

1⁰.

(читається: проекція на вісь дорівнює …) (рис.2.3).

2⁰.

(рис.2.4).

Означення . Лінійно залежними називають вектори , якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність

(1)

Означення . Лінійно незалежними називають вектори , якщо рівність (7) виконується тільки тоді, коли усі .

В системі векторів число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.

Приклад 1. Визначити лінійну залежність або незалежність системи векторів = (-1,-2,-3); = (7,8,9); = (-4,-5,6) та системи векторів = (3,-2,4,1); = (-1,2,-1,2); = (1,2,2,5).

Розв’язування. Спочатку розглянемо систему векторів , та . Знайдемо ранг матриці, складеної з координат цих векторів:

Визначник цієї матриці |А| = - 48 + 72 + 105 – 96 +84 – 45 = 72 не дорівнює нулю, тому r(A)=3 і вектори , , лінійно незалежні.

Тепер розглянемо систему векторів , , . Матриця В складена з координат цих векторів має вигляд:

Ця матриця розміру 3 х 4 має ранг r(B)=2.

Тому вектори , , лінійно залежні.

Базисом векторного простору_ називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору.

Довільний вектор n вимірного простору можна представити у вигляді лінійної комбінацій векторів базиса так:

(2)

Числа називають координатами вектора у базисі векторів .