2. Минорлар мен алгебралық толықтауыштар
Анықтауышты жол немесе баған элементтері бойынша жіктеу.
Анықтама. квадрат матрицасының - элементінің миноры деп элементі тұрған жол мен бағанды алып тастап матрицасының қалған қатарларынан құралған матрицаны айтады.
-
ші ретті
матрицасының
элементінің миноры реті “
”
тең квадрат матрица болады. Oны
арқылы белгілейміз.
Минор
түсінігі н анықтауыштар үшін де
қолданады. Анықтауыштың
элементінің минорын
арқылы белгілесек, онда
=
.
Мысалы:
болса,
онда
,
.
Анықтама. элементінің алгебралық толықтауышы немесе адъюнкті деп
санын айтады.
8º. Анықтауыштың қандай да бір қатарының элементтері мен олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы осы анықтауыш шамасына тең:
(1)
(2)
(1)
- қосынды анықтауыштың
-ші жол элементтері бойынша жіктелуі,
ал (2) - қосынды анықтауыштың
- шы баған элементтері бойынша жіктелуі
деп аталады.
9º. Анықтауыштың қандайда бір қатар элементтерімен осы қатарға параллель басқа бір қатардың сәйкес элементтерінің алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы нөлге тең.
3. Матрицаларға амалдар қолдану
Матрицаларға жасалатын келесі амалдарды қарастырамыз: санға көбейту, қосу, көбейту және кері матрица табу.
Алдымен келесі түсініктерді енгізейік.
Квадрат матрицаның бас диагоналінің сыртындағы (бас диагональ элементтерінен басқа) элементтердің барлығы нөлге тең болса, оны диагональдік матрица дейді. - ші ретті диагональдік матрицаны келесі түрде жазуға болады
.
Егер
мұнда
болса, онда
және
үшін диагональдік матрица сәйкес бірлік
матрица және нөлдік матрица деп аталады:
,
.
Ескерту. Нөлдік матрица түсінігі кез келген тік бұрышты (квадрат емес) матрицалар үшін де енгізіледі.
Анықтама.
матрицасы мен
санының көбейтіндісі
деп әрбір элементі
тең
матрицасын айтады.
Бұл амал үшін келесі қасиеттер орындалады:
1)
– сандық көбейткіштерге қатысты
ассоциативті;
2)
–
сандарды
қосуға қатысты дистрибутивті.
Сонымен
бірге
теңдіктері орындалады.
Анықтама.
Бірдей өлшемді
мен
матрицаларының қосындысы деп әрбір
элементі
тең, өлшемі
немесе
өлшеміндей,
матрицасын айтады.
Матрицаларды қосу амалы үшін келесі қасиеттер орындалады:
1)
– коммутативтік;
2)
- ассоциативтік;
3)
- матрицаларды қосуға қатысты
дистрибутивтік.
Анықтама.
және
матрицаларының көбейтіндісі деп
элементтері
(1)
яғни
- ші жол мен
- ші баған қиылысуындағы
элементі
матрицасының
-
ші жолы мен
матрицасының
- ші бағанының сәйкес элементтерінің
қос-қостан көбейтінділерінің қосындысына
тең болатын
матрицасын айтады.
Ескерту. Анықтамадан 1 - ші матрицаның бағандар саны 2 - ші матрицаның жолдар санына тең болатын матрицаларды ғана көбейтуге болатынын көреміз.
Бұл
мысалдан
,
яғни матрицаларды көбейту коммутативті
емес екені көрінеді.
Матрицаларды көбейту амалы келесі қасиеттерге ие:
1)
- ассоциативті;
және
матрицаларды қосуға қатысты дистрибутивті;
3)
Квадрат матрицалар үшін
яғни көбейтінді анықтауышы көбейткіштер
анықтауыштарының көбейтіндісіне тең.
Сонымен бірге кез келген квадрат матрица үшін
,
яғни
бірлік матрица
бірлік сан сияқты, ал нөлдік матрица
нөл саны сияқты роль атқарады.
Анықтама.
Егер
- бірлік матрица, теңдіктері орындалса,
онда
матрицасы
матрицасына кері деп аталады.
Анықтама. Анықтауышы нөлге тең емес квадрат матрица нұқсансыз (невырожденной), ал анықтауышы нөлге тең квадрат матрица нұқсанды (вырожденной) деп аталады.
Ескерту. “Нұқсанды” немесе “нұқсансыз” түсініктері тек қана квадрат матрицалар үшін ғана қолданылатынын ескертеміз.
теңдігінен
нұқсанды матрица үшін кері матрица
болмайтыны шығады (
).
Анықтама.
квадрат матрицасы берілсе, онда оның
элементтерінің алгебралық
толықтауыштарынан құралған
матрицасын тіркелген матрица деп атайды.
Тіркелген матрицаны алу үшін матрицасының әрбір элементін оның алгебралық толықтауышымен ауыстырып, алынған матрицаны транспонирлеу керек.