Задание 1. Напряженное и деформированное состояния в точке материала

Основные положения. Основными количественными характеристиками, описывающими механическое поведение различных материалов в условиях силовых и температурных воздействий, являются напряжения и деформации.

Напряжение – это мера интенсивности внутренних сил, измеряется в единицах силы, отнесенной к единице площади.

Деформация – это мера изменения взаимного расположения частиц тела.

При изменении наклона площадки, проходящей через какую-либо точку материала, изменяются действующие на ней нормальные и касательные напряжения. При проведении расчетов на прочность необходимо определить наибольшие напряжения, а также положения площадок, на которых они действуют. Таким образом, возникает проблема исследования напряженно-деформированного состояния в точке материала.

Напряженным состоянием в точке называют совокупность всех напряжений, действующих на всех возможных площадках, проведенным через эту точку.

Деформированным состоянием в точке называют совокупность всех деформаций, возникающих по различным направлениям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку.

При исследовании прочности различных материалов существенное значение имеет вид напряженно-деформированного состояния. Большинство материалов по-разному разрушаются в зависимости от того, являются ли напряжения растягивающими или сжимающими. Как показывает опыт, все материалы без исключения способны воспринимать весьма большие напряжения в условиях всестороннего сжатия, в то время как при одноосном растяжении, чистом сдвиге разрушение наступает при сравнительно низких напряжениях.

Существуют напряженные состояния, при которых разрушение происходит хрупко, без образования пластических деформаций, а есть такие, при которых этот же материал способен деформироваться пластически. Свойства самого материала при одном и том же напряженно-деформированном состоянии в значительной степени определяют работоспособность конструкций.

Таким образом, параметры напряженно-деформированного состояния в точках материальных сред играют важнейшую роль в расчетах на прочность и жесткость и позволяют оценить возможность недопустимого деформирования или разрушения конструкций и изделий, выполненных из самых различных материалов. Знание траекторий наибольших напряжений во многих случаях дает возможность придать рациональную форму проектируемой детали или части конструкции.

Различают объемное, плоское и линейное напряженно-деформирован-ное состояния. В настоящем задании ограничимся рассмотрением плоского напряженно-деформированного состояния.

Расчетные формулы. Нормальные и касательные напряжения _ и _ в зависимости от угла наклона нормали площадки  определяются по формулам (положительный угол  отсчитывается от оси z против хода часовой стрелки)

_ = ¹/₂ (_z + _y) + ¹/₂ (_z − _y) cos2 − _zy sin2; (1.1)

 _  = ¹/₂ (_z − _y) sin2 + _zy cos2, (1.2)

где _y , _z , _zy – исходные напряжения (рис. 1.2).

Здесь и далее в целях наглядности записи используются обозначения _z , _y , _ , _ 0 , _ 0+90 вместо стандартных обозначений функций:  (0) , (90) , () , (₀) , (₀+90).

Главные напряжения в плоскости чертежа _1,2 вычисляются по формуле

_1,2 = ¹/₂ (_z + _y) ± ¹/₂ [(_z − _y)² + 4²_zy] ^1/ 2 ,     ( ₁ > ₂ ). (1.3)

Углы наклона нормалей главных площадок − ₀ и ₀+90 − определяются из соотношения

tg 2₀ = − 2_zy / (_z − _y). (1.4)

Соответствие площадок, на которых действуют напряжения ₁ и ₂, определяется подстановкой ₀ и ₀+90 в формулу для _ . Полученное _ 0 должно быть равно ₁ либо ₂, а _ 0+90  –  ₂ либо ₁ соответственно. При этом, если, например, _ 0 = ₁, значит, на площадке, угол наклона нормали к которой равен ₀, действует напряжение ₁. Максимальные касательные напряжения _max равны _max = ¹/₂ (₁ − ₂).

Линейные деформации в точке характеризуются величинами относительных удлинений в соответствующих направлениях:

_z = dz / dz, _y = dy / dy, (1.5)

а угловые  –  углом сдвига γ_zy (рис. 1.1) .

Отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине при простом растяжении или сжатии, называют коэффициентом Пуассона:

 = _y / _z. (1.6)

По закону Гука, при плоском напряженном состоянии (с учетом изменения температуры), деформации в заданной точке линейно-упругого материала определяются из равенств:

_y= (_y −  _z ) / E +  t; _z = (_z −  _y ) / E +  t; γ_zy = _zy / G , (1.7)

где Е – модуль упругости при растяжении,  ГПа;  – коэффициент Пуассона; G – модуль упругости при сдвиге, вычисляемый для изотропного материала по формуле G = E / [2 (1+)], ГПа; α – коэффициент линейного расширения материала, C ^-1; t – изменение температуры материала по отношению к его температуре до нагрева, C.

Рис. 1.1

Цель работы – ознакомиться с понятиями напряжений и деформаций. Провести расчет (для случая плоского напряженно-деформированного состояния) нормальных    и касательных   напряжений в точке материала, действующих на площадках с разными углами наклона, а также вычислить в данной точке линейные и угловые деформации, используя закон Гука.

Задание 1. В соответствии с данными табл. 1.1 требуется:

1. Найти напряжения _, _+90 и  _ и изобразить их на чертеже (рис. 1.2).

2. Найти главные напряжения ₁ , ₂ (₁ > ₂), положение главных площадок (углы наклона нормалей которых равны  ₀ и  ₀+90), и показать их на отдельном чертеже.

3. Найти максимальные касательные напряжения _max, а также положение площадок, на которых они действуют (под углами 45 к главным площадкам); вычислить нормальные напряжения , действующие на этих площадках. Изобразить на отдельном рисунке _max и . Сравнить _max с заданным пределом прочности при сдвиге  _в.

4. Используя закон Гука при плоском напряженном состоянии, найти линейные _y , _z и угловую γ_zy  деформации в данной точке.

Рис. 1.2

Таблица 1.1