Исходные данные к заданию 1
|
||||||||||
Номер строки |
z, МПа |
y, МПа |
zy , МПа |
, градус |
t , C |
E , ГПа |
|
·106, C - 1 |
в , МПа |
Материал |
0 |
30 |
20 |
-10 |
25 |
100 |
210 |
0,27 |
12,5 |
235 |
Сталь углеродистая |
1 |
40 |
-30 |
20 |
-30 |
10 |
72 |
0,31 |
25,5 |
190 |
Сплавы алюминия |
2 |
50 |
40 |
-30 |
35 |
20 |
115 |
0,32 |
16,7 |
120 |
Медь |
3 |
60 |
-50 |
40 |
-40 |
30 |
100 |
0,33 |
20,0 |
150 |
Латунь |
4 |
70 |
60 |
-50 |
45 |
40 |
137 |
0,26 |
11,0 |
100 |
Чугун |
5 |
80 |
-70 |
60 |
-50 |
50 |
19 |
0,17 |
12,0 |
0,5 |
Бетон |
6 |
90 |
80 |
-70 |
55 |
60 |
11 |
0,15 |
3,5 |
7 |
Сосна |
7 |
100 |
-90 |
80 |
-60 |
70 |
112 |
0,30 |
18,0 |
320 |
Сплавы титана |
8 |
110 |
100 |
-90 |
65 |
80 |
10 |
0,15 |
35,0 |
50 |
Текстолит |
9 |
120 |
-110 |
100 |
-70 |
90 |
35 |
0,13 |
50,0 |
20 |
Стекло- пластик |
Шифр |
А |
Б |
В |
|||||||
Пример выполнения задания 1
Условия задания 1 даны в табл. 1.1.
Исходные данные примера представлены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Исходные данные примера задания 1
|
|||||||||
z , МПа |
y , МПа |
zy , МПа |
, градус |
t, °C |
E, ГПа |
|
α·10 6, °C - 1 |
в , МПа |
Материал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– 60 |
20 |
40 |
– 10 |
15 |
220 |
0,25 |
12,8 |
235 |
Сталь углерод. |
Примечание. При выполнении задания аналогичные данные, соответствующие своему шифру, необходимо взять из табл. 1.1. Решение
1. Определение напряжений , + 90 и на наклонных площадках. Исходное напряженное состояние показано на рис. 1.3.
y
= 20 МПа
z
Рис. 1.3
Вычисление напряжений , + 90 и .
= 1/2 (z + y) + 1/2 (z – y) cos 2 – zy sin 2 =
= 1/2 (– 60 + 20 ) + 1/2 (– 60 – 20 ) cos (2( –10)) – 40 sin (2(– 10)) =
= – 20 + ( – 40) 0,940 – 40 (– 0,342) = – 20 – 37,6 + 13,7 = – 43,9 МПа ;
+90 = 1/2 (– 60 + 20) + 1/2 (– 60 – 20) cos (2(–10 + 90)) – 40 sin(2(–10 + 90))=
= – 20 + (– 40) (– 0,940) – 40 · 0,342 = – 20 + 37,6 – 13,7 = 3,90 МПа ;
= 1/2 (z – y) sin 2 + zy cos 2 =
= 1/2 (– 60 – 20 ) sin (2 (– 10)) + 40 cos (2 (– 10)) = – 40 (– 0,342) +
+ 40 · 0,940 = 13,7 + 37,6 = 51,3 МПа.
Площадки, проходящие через данную точку материала, на которых действуют напряжения , +90 и , показаны на рис.1.4.
Рис. 1.4
2. Определение главных напряжений 1 , 2 и положения главных площадок.
Вычисление главных напряжений:
1,2 = 1/2 (z + y) ± 1/2 [ ( z – y)2 + 4 2zy ] 1/2 =
= 1/2 (– 60 + 20 ) ± 1/2 [(– 60 – 20 )2 + 4 · 402] 1/2 =
= – 20 ± 1/2 ((– 80) 2 + 4 · 402)1/2 = – 20 ± 56,6;
1 = 36,6 МПа, 2 = –76,6 МПа ( 1 > 2).
Вычисление углов наклона нормалей главных площадок 0 и 0 + 90
tg(2 0) = – 2zy / ( z – y ) = – 2 · 40 / (– 60 – 20 ) = 1; 2 0 = 45;
0 = 22,5; 0 + 90 = 112,5.
Соответствие площадок, на которых действуют 1 и 2 , определяется подстановкой 0 и 0 + 90 в формулу для вычисления .
0 = 1/2 (z + y) + 1/2 (z – y) cos 2 0 – zy sin 2 0 =
= 1/2 (– 60 + 20) + 1/2 (– 60 – 20 ) cos (2 · 22,5) – 40 sin (2 · 22,5) =
= – 20 + (– 40)0,707 – 40 · 0,707 = – 20 – 28,3 – 28,3 = –76,6 МПа.
0 = 22,5о
Рис. 1.5
Получили 0 = 2 . Таким образом, на площадке, угол нормали к которой равен 0, действует напряжение 2 (рис. 1.5). Следовательно, на площадке, угол наклона нормали которой равен 0 + 90, должно действовать напряжение 1. Проверим это:
0+90 = 1/2 (z + y) + 1/2 (z – y) cos (2( 0 + 90)) – zy sin (2( 0 + 90)) =
= 1/2 (– 60 + 20 ) + 1/2 (– 60 – 20 )cos (2 (22,5+90)) – 40sin (2 (22,5 + 90)) =
= – 20 + (– 40) (– 0,707) – 40 (– 0,707) = – 20 + 28,3 + 28,3 = 36,6 МПа.
Получили 0+90 = 1 . Главные напряжения 1 и 2 вычислены верно.
3. Определение максимальных касательных напряжений max , соответствующих нормальных напряжений и площадок, на которых они действуют. Сравнение max с заданным пределом прочности при сдвиге в.
Вычисление max :
max = 1/2 (1 – 2 ) = 1/2 (36,6 – (– 76,6) ) = 56,6 МПа.
Сравним max с в :
для углеродистой стали max = 56,6 МПа < в = 235 МПа. Условие прочности выполняется. Это означает, что разрушения в данной точке материала не происходит.
Вычисление углов наклона площадок, на которых действуют max :
1 = 0 + 45 = 22,5 + 45 = 67,5.
Направление max на площадке с углом наклона нормали 1 определяется знаком величины 1 :
1 = 1/2 (z – y) sin 2 1 + zy cos 2 1 =
= 1/2 (– 60 – 20 ) sin (2 · 67,5) + 40 cos (2 · 67,5) =
= – 40 · 0,707 + 40 (– 0,707) = – 28,3 – 28,3 = - 56,6 МПа.
Площадки, на которых действуют max , а также их направления с учетом закона парности касательных напряжений показаны на рис. 1.6 .
Рис. 1.6
Вычисление нормальных напряжений , действующих на этих площадках (см. рис. 1.6):
1 = 1/2 (z + y ) + 1/2 (z – y ) cos 2 1 – zy sin 2 1 =
= 1/2 (– 60 + 20 ) + 1/2 (– 60 – 20 ) cos (2 · 67,5) – 40 sin (2 · 67,5) =
= – 20 + (– 40)(– 0,707) – 40 · 0,707 = – 20 + 28,3 – 28,3 = – 20 МПа;
1+90 = 1/2 (z + y ) + 1/2 (z – y ) cos (2( 1 + 90)) – zy sin (2( 1 + 90)) =
= 1/2 (– 60 + 20 ) + 1/2 (– 60 – 20 ) cos (2(67,5+90)) – 40 sin (2(67,5+90)) =
= – 20+(– 40)0,707 – 40(– 0,707) = – 20 – 28,3 + 28,3 = – 20 МПа.
Можно вычислить 1 и 1+90 другим способом, а именно:
1 = 1+90 = 1/2 (1 + 2) = 1/2 (z + y) = 1/2 (– 60 + 20 ) = – 20 МПа.
4. Вычисление продольных y, z и угловой γzy деформаций в точке линейно-упругого материала.
В соответствии с законом Гука для линейно-упругого материала с учетом изменения температуры получим:
y = (y – z ) / E + α t = (20 · 106 – 0,25(– 60 · 106)) / 220 · 10 9 + 12,8 · 10–6·15 =
= 0,159 ·10–3 + 0,192·10—3 = 0,351·10–3 ;
z = (z – y ) / E + α t = (– 60 ·106 – 0,25 · 20 · 106 ) / 220 · 109 +
+ 12,8 · 10–6 ·15 = – 0,295 ·10–3 + 0,192·10–3 = – 0,103·10–3.
Модуль сдвига для изотропного материала вычисляется по формуле:
G = E / [2(1+)] = 220 ·109 /( 2 (1 + 0,25)) = 88 · 109 Па = 88 ГПа ,
тогда угол сдвига равен
γzy = zy / G = 40 ·10-6 / 88·109 = 0,455·10–3.
Ответ:
= – 43,9 МПа; |
+90 = 3,91 МПа; |
= 51,3 МПа; |
0 = 22,5; |
0+90 = 112,5; |
|
1 = 0 +90 = 36,6 МПа; |
2 = 0 = 76,6 МПа; |
|
1 = 67,5; |
max = – 56,6 МПа; |
1 = 1 +90 = 20 МПа; |
y = 0,351·10–3; |
z = – 0,103 · 10–3; |
γzy = 0,455 · 10–3; |
G = 88 ГПа . |
|
|