3.2 Математическое моделирование процесса прокатки в продольно-клиновом стане с применением msc.Superforge

Выпуск полос высокого качества, сокращение сроков внедрения в производство новых технологий, а также снижение затрат на производство в настоящее время является весьма актуальными вопросами при производстве листового изделия методами прокатки.

На металлургических предприятиях стран СНГ при расчете технологических режимов прокатки технологии решают следующие сложные задачи: расчет напряженно-деформированного состояния (НДС); определение характера течения металла и прогнозирование структуры металла или сплава; выбор рациональных режимов обработки; расчет усилий прокатки и др. [79,80].

При разработке технологий и внедрения их в прокатное производство применение существующих способов разработки не всегда позволяет решить вышеперечисленные задачи и обеспечить рациональное сочетание требуемого качества изделий, при этом не обеспечиваются минимальные сроки внедрения и затраты на производство.

Таким образом, на сегодняшний день выбор технологических режимов прокатки в большинстве случаев проводится методом проб и ошибок. Для получения полос высокого качества такой метод не является рациональным и экономичным.

Необходимо отметить, что в настоящее время для получения листов с заданными свойствами используют численные методы моделирования процессов прокатки. Метод численного моделирования прокатки позволяет рассчитать весь технологический процесс прокатки слябов. Использование этого метода позволяет предприятиям экономно использовать время и уменьшить затраты.

Поэтому применение программных комплексов MSC.SuperForge для моделирования структурообразования сталей при прокатке листов является актуальным.

3.3 Методика конечно-элементного моделирования объемной задачи ндс при пластической деформации

В данном разделе диссертации необходимо определить динамически изменяющееся НДС при прокатке листового металла. Для расчета НДС использовали следующие десять функций [79,80]:

σ_ij = σ_ij (x, y, z, t);

x = x (x₀, y₀, z₀, t);

y = y (x₀, y0, z₀, t); (3.1)

z = z (x₀, y₀, z₀, t);

ρ = ρ (x, y, z, t),

где x₀, y₀, z₀, x, y, z – начальные и текущие координаты материальной точки деформируемого тела;

ρ – плотность;

t – время.

Данные величины называют искомыми механическими переменными. Их находят в очаге деформации в любой момент времени t.

Функции (3.1) связаны дифференциальными уравнениями движения и неразрывности [79, с. 203 – 228, 80, с. 77 – 134]:

(3.2)

В связи с тем, что формулы (3.2) связывают десять неизвестных (шесть для σij, три ωi, а также плотность ρ), их трудно решить математическими методами механики сплошных сред.

Удельные массовые силы g и ускорения ω в большинстве процессов обработки металлов давлением (ОМД) достаточно малы и ими можно пренебречь. Тогда формулы (3.2) преобразуются в дифференциальные уравнения равновесия [49, с. 203 – 228, 80, с. 77 – 134], т.е.

Для решения системы уравнений (3.1) недостает шести уравнений. Данные уравнения в теории прокатки определяют исходя из свойств деформируемого металла. В теории прокатки эти шесть уравнений называют физическим уравнением связи НДС [79, с. 203 – 228, 80, с. 77 – 134].

Из теории прокатки известно [83,84,85], что во многих случаях компоненты девиаторов напряжения и скорости деформации пропорциональны. В теории пластичности такую пропорциональность называют пропорциональностью девиаторов напряжения и скорости деформации.

Используя гипотезу пропорциональности девиаторов напряжения и скорости деформации можно вывести формулу [81,с. 16 – 93, 82, с. 32 - 132, 83, с.13 – 57]:

(3.3)

где ψ – скалярный множитель.

Величину скалярного множителя ψ можно определить с помощью следующего соотношения [81,с. 16 – 93, 82, с. 32 - 132, 83, с.13 – 57]:

(3.4)

где Т – интенсивность касательных напряжения;

Н – интенсивность скоростей деформации сдвига.

На основе вышесказанного можно отметить, что для расчета НДС прокатываемой заготовки необходимо определить [81,с. 16 – 93, 82, с. 32 - 132, 83, с.13 – 57]: в каждой точке очага деформации траекторию движения частицы, показатели деформируемого и напряженного состояния. Шесть компонентов тензора напряжений, тензора деформаций, тензора скорости деформаций и три компонента вектора скорости течения характеризуют НДС деформируемой заготовки.

При решении упругопластической задачи прокатки используют систему уравнений, которые являются следствием законов сохранения массы, импульса и энергии. В декартовой системе координат используемые основные уравнения в тензорной форме имеют следующий вид [79, с. 278 – 340, 80, с. 39 – 71]:

- уравнение неразрывности деформаций:

(3.5)

- условие постоянства объема:

; (3.6)

- уравнение движения:

; (3.7)

- уравнение теплопроводности:

(3.8)

где γ – коэффициент теплопроводности;

– дифференциальный оператор Лапласа;

θ – температура материальной частицы деформируемого тела;

с – удельная массовая теплоемкость;

- компоненты тензора напряжений;

, где определятся как функция .

Физическими соотношениями в форме Прандтля – Рейса при условии текучести Мизеса можно воспользоваться для описания упруго пластического течения твердого тела [79, с. 278 – 340, 80, с. 39 – 71]:

, (3.9)

при значении деформация пластическая, а при - деформация упругая.

В уравнениях (3.5 – 3.9) использованы следующие обозначения [79, с. 278 – 340, 80, с. 39 – 71]: , , – компоненты тензоров напряжения, девиатора напряжений и тензора скоростей деформаций, соответственно; – давление; – объем; – плотность; – символ Кронекера; каждый из индексов последовательно принимает значения 1, 2, 3. Производную по времени обозначает точка над переменной. Производную по соответствующей пространственной переменной обозначает запятая между нижними индексами.

С учетом производной Шаумяна вдоль траектории материальной частицы производится вычисление производной по времени от компонент девиатора тензора напряжений [79, с. 278 – 340, 80, с. 39 – 71]. Поворот элемента тела как жесткого целого относительно исходной системы координат позволяет учесть Шаумяновская производная по времени.

Метод конечных элементов используется для численной реализации решения уравнений (3.5 – 3.9) [84,85,86]. Разбивка деформируемого тела на конечные элементы лежит в основе данного метода. Для объемного моделирования можно использовать геометрическую форму конечного элемента в виде тетраэдра (рисунок 3.4).

Рисунок 3.4 – Трехмерные конечные элементы

Двенадцать компонент перемещений (по 3 (и_х, и_y, и_z) в каждом узле i, j, k, l) содержит вектор узловых перемещений п-го тетраэдра [86, с. 91 – 152]. Линейным полиномом можно аппроксимировать перемещения  внутри тетраэдра:

,

где ₁ … ₄ – коэффициенты.

Данные коэффициенты определяются из системы четырех уравнений, т.е. коэффициенты определяются путем подстановки координат узлов и соответствующих им узловых перемещений в уравнении [86, с. 91 – 152]:

.

Систему уравнений в матричном виде можно записать в следующем виде [86, с. 91 – 152]:

где - вектор узловых перемещений;

- матрица функций формы,

где

,

через координаты узлов можно определить коэффициенты а_, b_, c_, d_, т.е.

, , , .

Циклической перестановкой индексов можно найти остальные коэффициенты [86, с. 91 – 152]:

- объем тетраэдра i j k l.

Поскольку , то полный вектор приращений узловых перемещений п-го тетраэдра имеет вид [86, с. 91 – 152]:

. (3.10)

Вектор приращения деформаций п-го тетраэдра имеет вид [86, с. 91 – 152]:

. (3.11)

Учитывая N_ и дифференцируя выражения (3.11) по пространственным координатам получена матрица [B] [86, с. 91 – 152], т.е.

. (3.12)

Связаны следующим соотношением приращения напряжений и деформаций п-го элемента [86, с. 91 – 152]:

(3.13)

где [D] и [D_p] – упругая и упругопластическая матрицы «деформации – перемещения» (соответственно написано);

Законом Гука является верхняя формула, пластическое упрочнение отражает нижняя формула [86, с. 91 – 152].

Приращения деформаций и напряжений каждого элемента можно определить через известный полный вектор приращения узловых перемещений [86, с. 91 – 152]. На q-м шаге нагружения текущее значение НДС каждого элемента можно определить по формуле:

(3.14)

Корни кубического уравнения являются главными деформациями ε₁, ε₂, и ε₃ [86, с. 91 – 152]. Для определения компонентов тензора главных деформаций можно воспользоваться выражением [86, с. 91 – 152]:

(3.15)

Известно, что для главных деформаций выполняется следующее соотношение [86, с. 91 – 152]:

ε₁ ≥ ε₂ ≥ ε₃.

Интенсивность деформаций ε_инт можно рассчитать по формуле [88, с. 91 – 152]:

ε_инт = MAX (|ε₁ − ε₂| · |ε₂ − ε₃| · |ε₃ − ε₁| ). (3.16)

Для определения эквивалентной деформации ε_экв можно использовать формулу [86, с. 91 – 152]:

(3.17)

Корни кубического уравнения являются главными напряжениями σ₁, σ₂, и σ₃. Для определения компонентов тензора главных напряжений можно воспользоваться выражением [86, с. 91 – 152]:

(3.18)

Известно, что для главных напряжений выполняется следующее соотношение [86, с. 91 – 152]:

σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃.

Интенсивность напряжений σ_инт можно вычислить по формуле [86, с. 91 – 152]:

σ_инт = МАХ (|σ₁ − σ₂| · |σ₂ − σ₃| · |σ₃ − σ₁| ). (3.19)

Эквивалентное напряжение σ_экв можно рассчитать по формуле [86, с. 91 – 152]:

(3.20)

Эквивалентные напряжения и деформация связаны между собой следующим соотношением [86, с. 91 – 152]:

σ_экв = 2ε_экв·G, (3.21)

где G = E /(2·(1 + ν)) – модуль сдвига;

Е – модуль Юнга;

ν – коэффициент Пуассона.

Напряжение текучести σ_у при текущей температуре вычисляется на первом шаге решения по времени [86, с. 91 – 152]. Затем на основе значений пробных деформаций определяются напряжения, которые представляют собой общую деформацию за вычетом пластической, полученной в предшествующий момент времени:

(3.22)

Далее вычисляется эквивалентное напряжение σ_экв по формуле (3.20) [86, с. 91 – 152]. Металл остается упругим при выполнении условия σ_экв < σ_y. В таком случае приращения пластической деформации не вычисляются.

Когда эквивалентное напряжение превышает предел текучести, используя итерационную процедуру Ньютона-Рафсона, вычисляется пластический множитель λ [86, с. 91 – 152]:

(3.23)

где F – критерий текучести;

Q – пластический потенциал (определяет направление пластических деформаций);

α – смещение поверхности текучести;

С – трансляционный множитель;

[M] – матрица согласования;

Т – знак транспонирования матрицы.

Вектор приращения пластической деформации вычисляется по формуле [86, с. 91 – 152]:

(3.24)

Вектор текущей пластической деформации модифицируют, используя уравнение [86, с. 91 – 152]:

{ε^пл}ⁿ = {ε^пл}^{n − 1} + {Δε^пл}, (3.25)

и определяют упругую деформацию:

{ε^упр} = {ε^пр}ⁿ − {Δε^пл}. (3.26)

После этого вычисляется вектор упругих напряжений {Δσ^упр}ⁿ по формуле (3.13), а расчет приращение пластической работы производят по формуле [86, с. 91 – 152]:

Δχ ={σ^упр}ⁿ ·|M| · {Δε^пл}. (3.27)

Положение центра поверхности текучести определяют по формуле [86, с. 91 – 152]:

{Δα} = C{Δε^пл}. (3.28)

Текущие значения приращения пластической работы положения центра поверхности текучести обновляется по формуле [86, с. 91 – 152]:

χⁿ = χⁿ⁻¹ + Δχ и {α}ⁿ = {α}ⁿ⁻¹ + {Δα}, (3.29)

где верхний индекс n относится к шагу по времени.

Приращение эквивалентной пластической деформаций вычисляется по формуле [86, с. 91 – 152]:

(3.30)

В конце рассчитывают эквивалентное напряжение σ_экв по формуле (3.21), а для расчета эквивалентной пластической деформации {Δε^пл} используют следующее уравнение [86, с. 91 – 152]:

{Δε^пл} ={ε^пл}ⁿ − {ε^пл}ⁿ⁻¹. (3.31)

Таким образом, зная компоненты векторов напряжений и деформации, можно определить НДС и внешние нагрузки, действующие на деформируемую заготовку [86, с. 91 – 152].

В диссертационной работе была поставлена задача - провести имитационное моделирование и рассчитать НДС заготовки при прокатке в продольно-клиновом стане.

Популярный CAE-пакет «MSC.SuperForge» был выбран в качестве инструмента моделирования и расчета НДС. В настоящее время универсальный программный комплекс «MSC.SuperForge» является одним из лидеров программных комплексов автоматизированного инженерного анализа.