3.4 Основные положения метода конечных элементов, используемые в программном комплексе «msc.SuperForge»
Известно [84, с. 65 - 213, 20, с. 76], что метод конечных элементов положен в основу программного комплекса «MSC.SuperForge». При этом в этой программе для различных областей деформируемого тела решаются известные формулы теории ОМД и теплопроводности совместно с начальными и граничными условиями в напряжениях, перемещениях или смешанного типа. В данной программе при решении математических задач ОМД используются следующие основные уравнения и соотношения [80, с. 39 - 134, 81, с. 31 - 112]:
1. Дифференциальные уравнения равновесия:
или
(3.32)
где Gi – сила, приходящаяся на единицу объема.
В теории пластичности объемную силу приравнивают силе инерции, поэтому
Gi = - a i ρ,
где ρ - плотность (кг/м3);
аi – ускорение на i – ом шаге деформирования.
Ускорение определяют по формуле:
(3.33)
где υi0 и υi1 - скорости в начале и конце каждого деформационного шага (м/с);
Δt - продолжительность i – ого этапа деформирования (с).
2. Формулы, позволяющие с помощью вектора перемещений определить компоненты тензора деформации (дифференциальные уравнения Коши):
(3.34)
3. В матричном виде распределение скорости конечных элементов можно записать в виде
(3.35)
где [N] - функция формы элемента;
{ νe } - вектор узловых скоростей.
Путем дифференцирования можно получить уравнение, позволяющее определить компоненты тензора скоростей деформации:
(3.36)
где [B] - матрица, связывающая компоненты тензора скоростей деформации с компонентами узловых скоростей.
4. Условие пластичности Губера-Мизеса определяется по формуле:
(3.37)
где σ'ij - девиатор напряжений;
σт - предел текучести.
5. Для деформируемой среды уравнение теплового баланса можно записать в виде
(3.38)
где с – удельная теплоемкость среды при постоянном объеме;
Т – средняя абсолютная температура сплошной среды в градусах Кельвина;
kl - коэффициенты, определяющие условия теплообмена на границе l ;
Tli,i – тепловое поле на границе l;
β - коэффициент, определяющий тепловыделение в результате деформации сплошной среды;
6. Накопленную деформацию определяют по формуле:
7. В большинстве случаев используют определяемый по формуле закон трения Кулона-Амонтона (касательные напряжения на поверхности контакта деформируемой среды с валком пропорциональны нормальным напряжениям):
(3.39)
где f – коэффициент трения.
8. Упругопластические и жесткопластические задачи ОМД могут решаться с помощью программного комплекса «MSC.SuperForge». При этом используются различные реологические модели в зависимости от вида решаемых задач.
В случае решения упругопластических задач для зон, находящихся в упругом состоянии, для определения связи между деформациями и напряжениями используют обобщенный закон Гука [80, с. 39 - 134, 81, с. 31 - 112], т.е.
(3.40)
где Е – модуль Юнга;
G – модуль сдвига;
μ - коэффициент Пуассона.
Данные величины связаны между собой уравнением [80, с. 39 - 134, 81, с. 31 - 112]:
(3.41)
Для зон деформируемой пластически, используют переменные параметры упругости Е* и G* [80, с. 39 - 134, 81, с. 31 - 112]. Тогда уравнения связи между деформациями и напряжениями записывают аналогично уравнениям (3.40), при этом используют уравнение подобное (3.41), т.е.
(3.42)
При исследовании процессов горячей прокатки решается жесткопластические задачи [80, с. 39 - 134, 81, с. 31 - 112]. Поэтому используют реологическую модель деформируемой среды, у которой напряжение течения зависят от степени деформации, скорости деформации и температуры, т.е.
(3.43)
Для аппроксимации уравнения (3.43) аналитическими зависимостями в теории пластичности используют известные эмпирические зависимости [80, с. 39 - 134, 81, с. 31 - 112]. Однако данные уравнения обладают определенными погрешностями и точно не определяют количественный и качественный характер зависимости (3.43). Поэтому в программе «MSC.SuperForge» не используются эмпирические уравнения. На основе экспериментальных данных, представленных в виде таблиц, осуществляют аппроксимацию сопротивления деформации в зависимости от термомеханических параметров деформирования.
9. Вариационный принцип Лагранжа используют в МКЭ и применяют в программном комплексе «MSC.SuperForge». Согласно данному принципу истинное состояние системы отличается от всех возможных тем, что сообщает полной энергии деформации минимальное значение [21, р.33 - 35, 24, р.15 - 186].
Расчеты производят поэтапно [87-90]. На каждом шаге расчета величину перемещений, деформаций и напряжений определяют по уравнениям:
(3.44)
где Ui-1, εi-1, σi-1 – значения перемещений, деформаций и напряжений на предыдущем шаге.
Минимум функционала полной энергии деформации на предыдущем этапе должны обеспечивать параметры Ui-1, εi-1, σi-1 [87, с.504 – 509, 88, с. 753 – 757, 89, с. 71 – 75, 90, с. 483 – 486]. Поэтому задача сводится к определению приращений функций ΔU, Δε, Δσ. При данных приращениях функционал также должен имеет минимальную величину.
На некотором шаге деформирования, описывающий полную работу деформации, функционал определяется уравнением [87, с.504 – 509, 88, 753 – 757, 89, с. 71 – 75, 90, с. 483 – 486]:
(3.45)
Функционал (3.45) состоит из следующих слагаемых [87, с.504 – 509, 88, с. 753 – 757, 89, с. 71 – 75, 90, с. 483 – 486]: работу внутренних сил представляет собой первое слагаемое, работу массовых сил – второе слагаемое, работу поверхностных сил (сил трения) – третье слагаемое.
Через матричные и векторные составляющие (матрица базисных функций элементов, вектор узловых перемещений и т.п.) выражается функционал (3.45) [87, с.504 – 509, 88, с. 753 – 757, 89, с. 71 – 75, 90, с. 483 – 486]. При этом интегралы заменяются суммами и задача сводится к решению систем линейных уравнений относительно перемещений. Перемещения U, компоненты тензора деформации ε, компоненты тензора скорости деформации ξ, компоненты тензора напряжения σ, интенсивность деформаций, интенсивность напряжений, силы нормального давления, силы трения на поверхности контакта металла с валком, распределение температуру по объему заготовки (температурные поля) и другие параметры рассчитывается по найденным значениям ΔU1 ,ΔU2 ,..., ΔUn.
Моделирование исследуемого процесса с использованием программного комплекса «MSC.SuperForge» осуществляется следующим образом [87, с.504 – 509, 88, с. 753 – 757, 89, с. 71 – 75, с. 90, с. 483 – 486]:
1. в зависимости от условий обработки (форма исходной заготовки и форма прокатываемого изделия, форма валка, условия деформирования и т.п.) выбирают тип конечно-элементного анализа, т.е. определяется, какая задача решается (плоская, осесимметричная или объемная);
2. создают геометрические модели исходной заготовки, валка и стана;
3. наносят сетку конечных элементов на заготовку;
4. используя либо имеющуюся в программе «MSC.SuperForge» базу данных, либо термомеханические свойства материала заготовки задают реологические свойства заготовки;
5. задают температуру, при которой начинается процесс прокатки заготовки;
6. задают условия на поверхности контакта заготовки и валка, т.е. коэффициент трения;
7. в зависимости от типа применяемого стана устанавливают закон движения подвижного инструмента;
8. с достаточно жесткой точностью производят расчеты. При этом производят расчет перемещения U, компоненты тензора деформации ε, компоненты тензора скорости деформации ξ, компоненты тензора напряжения σ, интенсивность деформаций, интенсивность напряжений, сила нормального давления, сила трения на поверхности контакта металла с валком, распределение температуру по объему заготовки;
9. в виде полей распределения соответствующих параметров по объему деформированного тела представляют результаты расчета или в виде числовых значений представляют исследуемые параметры в узлах деформированной сетки.
Важнейшим этапом моделирования процессов ОМД является нанесение сетки конечных элементов. Потому, что от нанесения сетки зависят точность и объем расчетов. В зависимости от типа решаемой задачи (плоская, осесимметричная или объемная) в программном комплексе «MSC.SuperForge» используется сетка элементов с использованием треугольников, четырехугольников, тетраэдров, трехгранных призм (пятигранников), шестигранников.
В зависимости от заданных условий, программный комплекс «MSC.SuperForge» имеет возможность автоматически разбивать деформируемый объем на необходимое количество элементов. При этом можно изменять сетку в процессе моделирования. При моделировании возможно задавать различные типы элементов для обрабатываемого тела одной и той же формы (треугольники и четырехугольники, тетраэдры и шестигранники).
В программном комплексе «MSC.SuperForge» предусмотрена возможность изменять плотность сетки элементов в отдельных зонах обрабатываемой заготовки.