2. Приборы с распределенным взаимодействием потока электронов с свч полем. Волновые лампы.

К волновым лампам относят СВЧ приборы с длительным взаимодействием пространственно модулированного электронного потока с электромагнитными полями замедляющих структур. При этом различают лампы бегущей волны (ЛБВ) и лампы обратной волны (ЛОВ), использующие для усиления сигнала кинетическую или потенциальную энергию электронного пучка в пространстве взаимодействия. В отличие от клистронов, в которых взаимодействие электронного потока с СВЧ полями “зажато” в узких зазорах резонаторов, в лампах бегущих волн электронный поток испытывает взаимодействие на большом протяжении с замедленной СВЧ волной, распространяющейся в нерезонансной колебательной системе вместе с потоком. Важным преимуществом ламп бегущей волны в отличие от клистронов являются их широкополосность и диапазон электронной настройки, качества незаменимые при создании широкополосных управляемых усилителей и генераторов СВЧ. Первые из них называются приборами “О-типа”, а вторые - “М-типа”.

1. Лампы бегущей волны “о-типа”

Схема ЛБВ представлена на Рис.2-1. Электронная пушка 1 создает узкий коллимированный пучок электронов, который пронизывает по оси замедляющую структуру 4, выполненную, например, в виде спирали с малым шагом, и далее поступает на коллектор 6. Для преодоления поперечного расплывания пучка как силами собственного объемного заряда так и силами поперечной составляющей электрического поля волны служит продольное магнитное поле соленоида 3. Начало и конец спирали оптимально связаны с входным 2 и выходным 5 волноводами настройкой с помощью согласующих поршней 9. Локальный поглотитель 7 вводят для разделения входа и выхода усилительной лампы с целью устранения ее самовозбуждения, когда небольшое отражение мощной волны на выходе создает нежелательную обратную связь.

Электронный поток взаимодействует внутри спирали с осевой компонентой электрического поля бегущей волны в прямом направлении и при определенных условиях отдает ей часть своей кинетической энергии, приводя к усилению ее сигнала. В той же последовательности, как и в клистронах, электронный пучок должен пройти стадию группирования электронов в сгустки и затем - стадию передачи энергии электромагнитному полю через наведенные токи в замедляющей структуре. Наилучший результат группирования достигается если фазовая скорость

волны равна скорости электронного потока, т.е. v_ф=v₀. */ Пространственная волна

электрического поля в системе координат, связанной с потоком, выводит электроны из состояния равновесия и вынуждает их скапливаться вблизи точек E_z = 0, где электрическое поле волны меняет знак c (+) на (-) в направлении распространения, поскольку положительная полуволна ускоряет электроны, а отрицательная - тормозит их (Рис.2-2а). На группирование нужно достаточное время, особенно если входной сигнал слабый. Это происходит на некотором начальном участке спирали до локального поглотителя 7 (Рис.2-1). При выбранном условии v_ф = v₀ количество ускоренных и замедленных электронов равно друг другу и общая их энергия остается неизменной.

Картина изменится, если равенство скоростей слегка нарушить: v_{ф ¹} v₀. Пусть, например, v₀< v_ф, процесс группирования остается удовлетворительным, но волна сгруппировавшихся электронов начинает постепенно отставать по фазе от бегущей волны, пока сгустки не окажутся в ее ускоряющем поле. Электромагнитная волна будет затухать, отдавая энергию электронам (Рис.2-2б). Наоборот, при v₀> v_ф электронные сгустки будут испытывать торможение со стороны волны, находясь в фазе тормозящего поля, их кинетическая энергия будет трансформироваться в энергию волны.

Перекачка энергии от электронов волне увеличивает амплитуду ее поля, но верно и обратное: увеличение поля волны усиливает процесс группирования. Оба процесса, поддерживая друг друга, экспоненциально нарастают по мере движения электронного потока вдоль замедляющей структуры.

Теория волн пространственного заряда в электронном потоке

Рассмотрим вывод дисперсионного уравнения для волн пространственного заряда, распространяющихся в электронном потоке в безграничном пространстве. Вывод строится на основании уравнений электродинамики и гидродинамики:

уравнения движения:

dv/dt = eE/m (2-1)

уравнения непрерывности:

¶r/¶t + div(rv) = 0 (2-2)

уравнения Пуассона

divE = r/e_0e^* , (2-3)

где e₀ - диэлектрическая постоянная, e^* - относительная диэлектрическая проницаемость среды, для вакуума e^* = 1.

Примечание: Заметим, что направляемые ТЕМ волны имеют фазовую скорость, v_ф=c. Электронные же пучки всегда имеют скорость v₀ < c_. Поэтому, чтобы добиться выполнение условия v_ф = v₀ < c для замедления электромагнитных волн нужно использовать замедляющие структуры.

Используются следующие допущения: а) решается одномерная задача: направления электрического поля волн, возмущений плотности зарядов совпадают с направлением потока; б) переменные составляющие всех величин много меньше их постоянных значений: r << r₀; v << v₀; в) постоянная составляющая электронного пространственного заряда в пучке скомпенсирована ионами. С учетом этих допущений уравнения (2-1) - (2-3) принимают вид:

¶v/¶t + v_0¶v/¶z = (e/m)E; (2-4)

¶r¶t +r₀ ¶v/¶z + v_{0 ¶r}/¶z = 0; (2-5)

¶E/¶z = r /e₀ . (2-6)

Запишем решение для любой переменной (r, v или E) в общем виде:

A = A_mexp{i(wt - gz)}, (2-7)

где g - постоянная распространения волны (действительная величина).

После подстановки (2-7) в (2-4) - (2-6) получаем систему алгебраических уравнений:

iwv - i gv₀v = (e/m)E (2-8)

iwr - igr₀v -igv_0r = 0 (2-9)

- igE = r /e₀ (2-10)

Совместные преобразования уравнений дают новое уравнение, устанавливающее связь между характеристиками волны и потока электронов:

(w - gv₀)² = er₀/(e₀m) (2-11)

или (w - gv₀)² = w_b², (2-12)

где w_b² = [er₀/(e₀m)]^1/2 - плазменная частота электронного потока.

Полученное дисперсионное уравнение показывает, что при данной частоте w существует два значения постоянной распространения g:

g₁ = (w + w_b)/v₀ и g₂ = (w - w_b)/v₀ , (2-13)

которые соответствуют двум волнам с разными фазовыми скоростями v_ф = w/g_1,2:

v_ф1 = v₀(1 + w_b/w)^-1 и v_ф2 = v₀(1 - w_b/w)^-1, первая (1) из которых медленнее самого потока (v_ф1< v₀), а вторая (2) - быстрее (v_ф1> v₀).

Покажем, что энергосодержание этих волн различно. Для этого проведем вычисление средней плотности кинетической энергии для каждой волны, вычтя из полной энергии W_к соответствующую энергию немодулированного потока W_к0:

W_к - W_к0 = (2el ) ^-1 m(v₀ + v)²(r₀ + r)dz, - m v₀² r₀/2e (2-14)

Интегрирование проводится в объеме, ограниченном единичной площадкой поперек потока и длиной l, соответствующей длине каждой из волн. Подставив в (2-14) выражения для v и r в форме (2-7) и проведя отдельно интегрирование каждого из слагаемых и суммируя их, получаем:

W_к - W_к0 = (mr₀v_m²/4e) [1 ± 2(w_b±w)/w_b], (2-15)

Здесь v_m - амплитуда модуляции скорости электронов в волне; верхние знаки соответствуют медленной волне (1), а нижние - быстрой волне. Определим теперь избыток плотности энергии в модулированном электронном потоке DW_{1, 2}, добавив к (2-15), усредненную по l плотность энергии электрического поля волн

W_e = mr₀v_m²/4e, т.е.: (2-16)

DW = W_к - W_к0 + W_e, (2-17)

что после несложных преобразований дает:

DW₁ = - (mr₀v_m²/2e)w/w_b для медленной волны (2-18)

и DW₂ = + (mr₀v_m²/2e)w/w_b для быстрой волны. (2-19)

Таким образом, медленная волна имеет дефицит энергии по отношению к невозмущенному потоку, а быстрая ее - избыток. Это значит, что медленная волна будет усиливаться, отбирая у него излишек энергии, а быстрая волна, наоборот, будет затухать, отдавая потоку свой избыток энергии. Характерно и то, что фазы волн плотности заряда и волн скорости у обеих волн различны (Рис.2-3). У быстрой волны максимумы плотности электронов совпадают с максимумами их скорости (а), а у медленной - они в противофазе (б), что и предопределяет низкое энергосодержание этой волны и ее способность к усилению. Передача энергии от электронного потока к медленной волне приводит к увеличению ее амплитуды, что, в свою очередь, усиливает группирование потока. Благодаря положительной обратной связи, оба процесса развиваются экспоненциально быстро по направлению течения электронного потока вдоль замедляющей системы. Чтобы отобрать энергию из медленной волны пространственного заряда необходимо обеспечить ее синхронизм с электромагнитной волной замедляющей системы, в которую в конечном счете перекачивается кинетическая энергия электронов при посредничестве медленной волны пространственного заряда. Замедляющие системы направляемых электромагнитных волн неизбежно ограничивают рассматривавшийся теорией безграничный поток электронов в направлении, поперечном распространению волн и самого потока. Поэтому теория ЛБВ должна учитывать обстоятельства, связанные с этим ограничением.

Волны пространственного заряда в пучках ограниченного сечения

Для построения теоретической модели ЛБВ достаточно рассмотреть тонкий электронный пучок, помещенный на оси идеально проводящего цилиндрического экрана, радиусы которых удовлетворяют условию:

a £ b << l, (2-20)

где a - радиус пучка, b - радиус экрана, l = 2pv₀ / w - длина волны пространственного заряда в пучке. Условие (2-20) позволяет устанавливать связь параметров пучка и волн в поперечном направлении в приближении электростатики. Так, вместо плотности объемного заряда r введем погонный заряд (заряд единицы длины пучка), q = dQ/dl, вместо плотности тока пучка j - ток пучка i, вместо напряженности электрического поля E - разность потенциалов между пучком и стенкой U. При этом продольное электрическое поле E_z = - ¶U/¶z, а поперечное E_r = - ¶U/¶r. Чтобы не рассматривать движение зарядов под действием E_r поперек пучка, наложим сильное статическое магнитное поле B_я® ¥, которое “заморозит” поперечное движение электронов, благодаря чему задача принимает одномерный характер.

Уравнения (2-1) - (2-3) в новых переменных примут вид:

уравнение движения

¶v_z/¶t + v_0¶v_z/¶z = (- e/m)¶U/¶z , (2-21)

уравнение непрерывности

¶q/dt = - ¶i/¶z, (2-22)

вместо уравнения Пуассона

U = q/C’ (2-23)

здесь конвекционный ток дается в линейном приближении:

i = q₀v_z + v₀q, (2-24)

а C’ - представляет собой погонную емкость пучка относительно экрана:

C’ = 2pe₀/ln(b/a). (2-25)

Искомое решение записывается, по-прежнему, в общем виде:

            A = A_mexp[i(wt - gz)], (2-26)

подставляется в (2-21) - (2- 23) и затем решение полученной системы линейных алгебраических уравнений приводит к дисперсионному уравнению:

(w - gv₀)² = v_b^2g2 (2-27)

Уравнение имеет два решения для v_ф быстрой и медленной волн:

v_{ф 1,2}= v_{0 ±} v_b. (2-28)

Для эффективной передачи энергии пучка в электромагнитную волну скорость последней должна быть близка к скорости электронов пучка v₀ < c и кроме того, эта волна должна обладать продольной с пучком составляющей электрического поля. Одновременно этим требованиям может отвечать только замедленная волна. Простейшим видом замедляющей системы для электромагнитных волн является спираль (Рис.2-4а). Считается, что скорость распространения волны вдоль провода равна c. Волна, проходя по витку спирали путь s = [(2pa)² + h²]^1/2, продвигается по оси системы z на шаг спирали h. Отсюда фазовая скорость волны

v_ф = ch/s, (2-29)

а параметр ее замедления b = c/v_ф= 1/siny, где y - угол намотки спирали. Согласно (2-29) замедление в спирали определяется только ее геометрией и не зависит от частоты. Длина волны в спирали L:

L = 2p/g = l₀/b, (2-30)

где l₀ - длина электромагнитной волны в свободном пространстве. Спираль переносит волну зарядов на своей поверхности, знак которых меняется через L/2 (см.Рис.2-4б). Наибольшая напряженность поля волны сосредоточена вблизи самой спирали, наружу и внутрь от нее поле быстро (почти экспоненциально) убывает.

Итак, соответствие фазовых скоростей медленной электронной волны пучка и электромагнитной волны замедляющей системы

v₀ - v_b = ch/s

является необходимым условием, но не достаточным для построения теории ЛБВ, так как в этом выводе не учтена взаимная связь полей замедляющей структуры и конвекционного тока электронного пучка.

Элементарная теория ЛБВ

Теория ЛБВ строится в приближении малого сигнала, когда возмущение полей в замедляющей структуре конвекционным током пучка мало. Представим замедляющую структуру ЛБВ эквивалентной длинной линией (Рис.2-5), в непосредственной близости от которой течет продольный конвекционный ток I. Конвекционный ток представим в виде суммы постоянной и переменной слагаемых:

I = I₀ + I₁; |I₁| << |I₀|; I₁ = I_{1 m}exp(iwt - gz). (2-31)

Здесь g может быть комплексной величиной.

Аналогично объемная плотность заряда и скорость его движения могут быть записаны в виде:

r = r₀ + r₁; |r₁| << |r₀|; r₁ = r_{1 m} exp(iwt - gz); (2-31’)

v = v₀ + v₁; |v₁| << |v₀|; v₁ = v_{1 m} exp(iwt - gz).

Здесь g - постоянная распространения волны в структуре с учетом возмущения ее конвекционным током.

Задача о взаимовлиянии конвекционного тока пучка и напряжения в длинной линии решается тремя последовательными действиями: 1) Вначале находится зависимость напряжения длинной линии U_л от возмущения, вносимого конвекционным током; 2) Затем рассматривается обратное влияние полученного напряжения в линии на конвекционный ток; 3) Наконец, объединение выводов позволяет найти связь напряжения в замедляющей структуре с параметрами пучка и коэффициенты усиления ЛБВ.

1. Пренебрегая омическими потерями, запишем телеграфные уравнения длинной линии с учетом влияния переменной составляющей конвекционного тока через наведенный ею ток I_н :

¶I_л/¶z = -iwCU_л + ¶I_н/¶z; ¶U_л/¶z = -iwLI_л. (2-32)

Здесь I_л - ток в линии. При оптимальной связи пучка с линией можно считать наведенный ток равным конвекционному, т.е. ¶I_н/¶z = ¶I/¶z. Считая, что величины U_л и I_л изменяются как и I₁ согласно (2-26) или (2-31), и подставляя их в (2-32), получаем:

- gI_л = - iwCU_л - gI₁; - gU_л = - iwLI_л. (2-33)

Исключая из (2-33) I_л, получаем:

U_л(g² +w²LC) = i gwLI₁ , (2-34)

или U_л(g² + k_z²) = i gZ₀k_zI₁

где k_z = w (LC)^1/2 - постоянная распространения волны напряжения в длинной линии без учета влияния тока пучка, wL = Z₀k_z , а Z₀ = (L/C)^1/2 - волновое сопротивление линии. Итак,

U_л = [i gZ₀k_z /(g² + k_z²)] I₁. (2-35)

2. Теперь найдем влияние напряжения линии на конвекционный ток. Представляя ток в виде I = j₁S = ervS, затем подставляя (2-31’) и исключая постоянную составляющую и члены малого порядка, получаем:

I₁ = j₁S = (r₀v₁ + r₁v₀)S, (2-36)

Найдем v₁ из уравнения движения:

m dv/dt = e¶U_л/¶z

или d(v₀ + v₁)/dt = (e/m) ¶U_л/¶z.. (2-37)

Раскрывая полную производную скорости, получаем: ¶v₁/¶t + (v₀ + v₁) _¶v₁/¶z = (e/m) ¶U_л/¶z. (2-38)

Дифференцируя (2-38) после подстановки (2-31’) и пренебрегая v₁² , получаем

(iw - v_0g)v₁ = - (e/m) g U_л ,

откуда находим v₁ = - e g U_л/[mv₀(ik_e - g)], (2-39)

где k_e= w/v₀ - волновое число электронной волны.

Найдем теперь r₁ из уравнения непрерывности:

¶j₁/¶z = - ¶r/¶t . (2-40)

Используя (2-29’) и проводя дифференцирование, получаем:

r₁ = - i g j₁/w. (2-41)

Подставим найденные выражения для v₁ (2-39) и r₁(2-41) в (2-36) и разрешим относительно j₁:

j₁ = - ik_er0geU_л/[mv₀(ik_e - g)²]. (2-42)

Переходя к полному току в сечении пучка I₁ , умножим и разделим (2-42) на v₀, после чего произведем замену параметров: r₀v₀S = I₀, а mv₀²/e = 2U_а. Тогда

I₁ = - iI₀k_egU_л /[2U_a(ik_e - g)²]. (2-43)

Исключая I₁ и U_л из (2-33) и (2-41), получаем общее решение в виде дисперсионного уравнения длинной линии, нагруженной током пучка:

2U_а(ik_e - g)²(k_z² + g²) = I₀k_ek_zg²Z₀. (2-44)

Представим коэффициент распространения волны в линии в виде суммы

g = ik_z + x , (2-45)

где x - является поправкой к постоянной распространения в линии, связанной с влиянием тока, |x| << |k_z|. Считая, что средняя скорость пучка и фазовая скорость волны в линии согласованы, т.е. v₀ = v_ф, будем считать волновые вектора также равными: k_e = k_z = k. Подставляем (2-45) в (2-44) с учетом того, что x = g - ik_z:

2U_аx²(2ikx + x²) = I₀k²(x² + 2ikx - k²)Z₀.

Пренебрегая членами второго и третьего порядка малости (вторым слагаемым слева и первыми двумя - справа), получаем:

x³ = ik³Z₀I₀/4U_а. (2-46)

Обозначим Z₀I₀/4U_а = С₀³ , где C₀ - параметр усиления. Тогда решение (2-46) представим в виде кубических корней мнимого числа:

x = kC₀ exp [i(2pn/3 + p/6)], n = 0, 1, 2. (2-47)

В комплексном виде: x₁ = kC₀(0,87 + 0,5i); x₂ = kC₀(- 0,87 + 0,5i); x₃ = -i. (2-48)

Напряжение в линии изменяется согласно определению:

U_л = U_{л m} exp (iwt - gz). (2-49)

Подставляя сюда (2-48) через (2-45), получаем три типа решения для волн в замедляющей структуре:

U_{л 1} = U_{л m}exp{i[wt - k(1 + 0,5C₀)z]}exp(0,87kC₀z); (2-50)

U_{л 2} = U_{л m}exp{i[wt - k(1 + 0,5C₀)z]}exp(- 0,87kC₀z); (2-51)

U_{л 3} = U_{л m}exp{i[wt - k(1 - C₀)z]}. (2-52)

Первые две волны - медленные, вторая волна (2-51) затухает с ростом z, и ее не следует рассматривать. Третья волна (2-52) - быстрая, ей электроны не могут передать энергию, поэтому амплитуда волны остается постоянной. Амплитуда же медленной волны (2-50) возрастает с z по экспоненциальному закону с показателем, определяющим коэффициент усиления ЛБВ, К_у, если положить z = l, где l - длина замедляющей структуры:

К_у = 0,87kC₀l. (2-53)

Выразим К_у в децибелах:

К_у = 20 lg[U_л(l)/U_л(0)] = 20lg[exp(0,87C₀2pN)] = 47,3C₀N, (2-54)

где N - число волн l_в, укладывающихся на длине структуры. Чтобы учесть потери входного сигнала, будем считать, что этот сигнал делится поровну между тремя волнами, из которых усиливается лишь одна. Это соответствует потере сигнала по мощности в 9 раз или - 9,54 дБ. Кроме того, сигнал теряется на локальном поглотителе - A, дБ. Итоговый коэффициент усиления ЛБВ:

К = 47,3C₀N - 9,54 - A, дБ (2-55)

Усиление лампы зависит в большей степени от длины спирали лампы и в меньшей степени от параметров, определяющих С₀.

Параметр усиления С₀³ = Z₀I₀/4U_а можно также выразить через поток мощности P и амплитуду напряженности поля E_{z m} , полагая, что они связаны между собой через сопротивление связи, роль которого здесь играет волновое сопротивление Z₀: R_св = Z₀ = E_{z m}²/(2k²P):

С₀³ = E_{z m}²I₀/(8k²PU_а) (2-56)

Электронный к.п.д. ЛБВ определим в виде:

h = (W₀ - W_k)/W₀ = 1 - W_k/W₀ , (2-57)

где W₀ = mv₀²/2 - начальная кинетическая энергия электронов, а W_k -конечная энергия, которая остается у электрона в конце замедляющей структуры, где v(l) = v_ф = w/[k(1 + 0.5C₀)]. Так как w/k » v₀, W_k = mv₀²/[2(1 + 0,5C₀)²], следовательно

h = 1 - (1 + 0,5C₀) ^-2 » C₀. (2-58)

Оказалось, что к.п.д. лампы тоже определяется параметром усиления, который мал в сравнении с 1. Это означает, что к.п.д. тоже невелик. В действительности h у мощных ЛБВ не более 20 -30%. Пути увеличения h: 1)замедление фазовой скорости структуры v_ф синхронно с торможением пучка; 2)наложение постоянного ускоряющего электрического поля вдоль пучка для поддержания синхронизма электронов с волной в тормозящей фазе поля; 3)рекуперация энергии электронного пучка путем его торможения в пространстве между спиралью и коллектором, при котором часть неиспользованной энергии пучка возвращается в источник. Указанные пути позволяют увеличить полный электронный к.п.д. до 50 - 60%.

Рассмотрим характеристики ЛБВ в зависимости от изменения различных параметров (Рис.2-6). Зависимость выходной мощности P_вых от ускоряющего напряжения U_а (а) имеет оптимальное напряжение, при котором v_{0 ³} v_ф, когда электроны группируются в тормозящих областях поля волны. При увеличении v₀ выше некоторой пороговой скорости, электроны перестают отдавать энергию волне и, могут даже, наоборот, отбирать от нее энергию, при этом ухудшается и группировка пучка. Амплитудная характеристика ЛБВ (б) показывает нарушение линейности усиления из-за уменьшения коэффициента усиления лампы с ростом мощности входного сигнала выше некоторого уровня P₂, а выше некоторого P₃ выходная мощность может даже уменьшаться из-за нарушения процесса образования сгустков электронов. Частотная характеристика ЛБВ-усилителя в рабочей полосе (в) имеет вид изрезанной холмообразной кривой: на краях полосы коэффициент усиления лампы падает из-за нарушения синхронизма между фазовой скоростью основной волны и скоростью пучка, изрезанность связана с изменением числа замедленных волн n на длине замедляющей структуры.

ЛБВ имеет склонность к самовозбуждению из-за внутренней обратной связи, обусловленной несовершенным согласованием замедляющей системы на выходном и входном фидерах лампы при неполном поглощении отраженных волн развязывающим поглотителем. При оптимальном подборе амплитудного и фазового условия для прошедшей за поглотитель отраженной волны, когда

|A_{вх отр}| / |A_{вх перв}| ³ 1, а l = nlv_ф/2с , где n = 1, 2, 3 ..10 ... , (2-59)

ЛБВ может работать как генератор волн. Для этого нужно лишь создать положительную внутреннюю или внешнюю (по фидеру) обратную связь. Запишем фазовое условие самовозбуждения ЛБВ в виде:

g_осl_ос + g₀l = 2pn, (2-60)

которое требует, чтобы суммарный набег фазы в кольце обратной связи (лампа«фидер) был кратным 2p. Для работы в широком диапазоне частот необходимо, чтобы фаза (2-60) в кольце обратной связи при изменении рабочей частоты сохранялась при n=const, т.е.

( g_осl_ос + g₀l) = 0 или l_ос/(v_гр)_ос + l / v_гр = 0, (2-61)

где (v_гр)_ос = dw/dg_ос и v_гр = dw/dg_о - групповые скорости (движения энергии) волн во внешней цепи обратной связи и в лампе соответственно. При нормальной (положительной) дисперсии оба слагаемых изменяются с w с положительным знаком, и поэтому выполнить требования (2-60) и (2-61) в широкой полосе частот не удается. Несмотря на широкополосные характеристики ЛБВ как усилителя, ее реализация в качестве генератора с широкополосной электронной перестройкой частоты оказалась невозможной. Реальный диапазон электронной перестройки ЛБВ-генератора составляет не более нескольких процентов от средней частоты, что не дает ЛБВ преимуществ по сравнению, например, с отражательным клистроном, имеющим резонансную колебательную систему.