3. Две матрицы А и В называются равными, если

   1. У них соответственно равны числа строк и столбцов

   2. Равны числа, стоящие на соответствующих местах этих матриц

4. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается О

1. Линейные операции над матрицами и их свойства.

   1. Умножение числа на матрицу

Чтобы умножить число на матрицу А, нужно умножить на все элементы матрицы А

Свойства: для любой матрицы А и любых , R

1. 1*A=A*1=A

2. 0*A=A*0=O; *O=O* =O

3. ( A)=( )A=A( )

2. Сложение матриц

Суммой двух матриц А и В, имеющих соответственно равные числа строк и столбцов, называется матрица С, имеющая те же числа строк и столбцов и элементы, равные суммам соответствующих элементов матриц А и В

Свойства: для любых матриц А, В, С и любых , R

1. А+В=В+А (коммутативность)

2. А+(В+С)=(А+В)+С (ассоциативность)

3. ( + )А= А+ А=А( + ) (дистрибутивность)

4. (А+В)= А+ В=(А+В) (дистрибутивность)

5. А+О=О+А=А

8. Транспонирование матриц. Умножение матриц.

   1. Транспонирование – замена строк матрицы её столбцами

Матрица А^Т транспонирована по отношению к матрице А

2. Умножение матриц

Пусть заданы матрицы А и В, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй

C_ij=a_i1b_1j+ a_i2b_2j+…+ a_inb_nj

9. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы

1)Квадратная матрицам А называется обратной, если существует квадратная матрица Х, удовлетворяющая соотношениям АХ=ХА=Е

2) находим определитель А данной матрицы А. если определитель А =0, т.е. матрица вырожденная, то обратная матрица не сущ. Ели же матрица невырожденная, продолжаем процесс.

Составим присоединенную матрицу А^*

ОБРАТНУЮ МАТРИЦУ НАХОДИМ ПО ФОРМУЛЕ

А^-1= 1/опр. А * А^*

Для проверке полученного результата следует убедиться в верности равенства

АА^-1=А^-1А=Е

10. Ранг матрицы.

Наибольший порядок отличных от 0 миноров матрицы А называется рангом матрицы А.

11. Определители второго и третьего порядка.

Определители второго порядка

Определители третьего порядка

Правило треугольников

Разложение по строке

12. Свойства определителей.

• Определитель не изменяется при транспонировании

• Если в определители переставить две какие-либо строки, то опр измен только знак

• Если все элементы какой-либо строки имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя

13. Миноры и алгебраические дополнения.

• Минором какого-либо элемента называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечение которых стоит элемент.

• Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со своим или противоположным знаком согласно след правилу: если сумма номеров столбца и строки, на пересечение которого стоит элемент, если число четное, то минор берется со свои знаком, если нечет., то с противоположным.

Алгебраическое доп элементов а_11, а₁₂ … будем обозначать соответственно А₁₁, А₁₂ … таким образом

А_ij=(-1)^i+j M_ij

14. Применение определителей. Формулы Крамера.

• Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0. В противном случае матрица назыв вырожденной.

Теорема: для матрицы А обратная матрица А^-1 существует тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

• Формулы крамера ( метод решения)

Если главный определитель системы = 0, а хотя бы один из вспомогательных опр не равен 0, то сестема уравнений не имеет решений. Если глав опр и вспомог опр системы =0, то система уравнений имеет бесконеч множество решений.

Система двух линейных однородных уравнений с 2 переменными ( написать систему) всегда совместна х=0, у=0

Это решение будет единственным, если определитель не равен 0

Х_i= опр i/ опр (I = 1, n)