Предел функции. Основные теоремы о пределах.
Число b называется пределом функции y=f(x) при x →∞, если для любого числа E>0 существует также число М>0, что для всех х, удовлетворяемых условию |x|>M, выполняется неравенство |f(x)-b|<E, в этом случае lim f(x)=b x→∞ или f(x) →b при х→∞
Теоремы:
Если функция имеет предел, то этот предел единственный. 2)Предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов. 3)Предел произведения равен произведению пределов. 4) Предел частного равен частному пределов.
Два замечательных предела.
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
31. Непрерывность функции: основные понятия.
Определение непрерывности по Гейне
Говорят,
что функция действительного
переменного f (x) является непрерывной в
точке 
(
-
множество действительных чисел), если
для любой последовательности 
,
такой, что
выполняется соотношение
На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :
Функция f (x) определена в точке x = a;
Предел
существует;Выполняется равенство
.
32. Производная. Дифференцируемость функции.
Производной
функции у=f(x)
в точке х0 называется предел отношения
приращения функции в этой точке к
приращению аргумента при Δх→0.
Геом. смысл производной: Производная f(x0) равна угловому коэф. касательной к графику функции y=f(x) в точке М нулевое (х нулевое f(x нулевое))
Функция одного аргумента дифференцируема, если она имеет производную.
Правила дифференцирования
33. Производные основных элементарных функций
34. Экстремум функции.
Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(xо) = 0, либо f (xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ' (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную
f ' (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f ' (xо) = 0, >0 (<0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
35. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
(это мы не проходили, но мало ли)
Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b
Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).
Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.
Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:
если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );
если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.