3 Задача потокораспределения в кольцевой трубопроводной сети

В основе характеристики течения среды по гидравлической системе лежит определение основных параметров потока в каждом элементе системы. Рассмотрим соотношения, связывающие величины, характеризующие потокораспределение в произвольной гидравлической системе. В целях упрощения модели течения среды, сохраняя при этом необходимую достоверность полученных результатов, используют следующие допущения.

1. Модель потока по элементам системы одномерная.

2. Течение среды равномерное либо плавноизменяющееся.

3. Ламинарное течение – установившееся, а турбулентное – усредненно-установившееся.

Пусть задана кольцевая сеть с одним источником питания (рис.5).

Кроме того, заданы: длины, диаметры и материал труб всех участков сети; узловые отборы и геодезические отметки земли у всех потребителей и напор на источнике.

Требуется найти:

1) расходы и потери напора на всех участках, напоры и давление в каждом из узлов (у потребителей);

2) построить пьезометрический график по выбранному направлению от источника до самого дальнего потребителя;

3) вычислить алгебраическую сумму потерь напора по трем контурам.

Для отыскания требуемых параметров потокораспределения необходимо решить систему нелинейных уравнений, которая состоит из уравнений баланса расходов в каждом из узлов системы и уравнений Бернулли для каждого участка сети.

3.1. Определение расходов, напоров в узлах и потерь напора на участках

Составим уравнение баланса расходов для нашей сети:

1. 

2. 

3. 

4. (1)

5. 

6. 

7. 

8. 

- уравнение баланса расходов

Участки

Узлы

Построим матрицу инцидентности расходов (А):

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

2 -1 1 0 0 0 0 0 0 1

3 0 -1 1 0 0 0 0 0 0

4 0 0 -1 1 0 0 0 -1 0 = А

5 0 0 0 -1 1 -1 0 0 0

6 0 0 0 0 -1 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 1 -1 0 0

8 0 0 0 0 0 0 1 1 -1

Из составленных уравнений мы получили 9 переменных Х, 8 переменных Н, а всего у нас 9+8=17- уравнений. Чтобы решить систему мы задаём одну переменную Н₁=25м.

Сумма всех уравнений даёт тождество, что означает линейную зависимость системы, поэтому одно уравнение линейно зависит от других и его можно выбросить. Например: выброшу последнее уравнение баланса. Тогда у нас остаётся 16 уравнений и матрицы преобразуется

А Х=Q =>

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Q₁

2 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 - Q₂

3 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 - Q₃

4 0 0 -1 1 0 0 0 -1 0 = -Q₄

5 0 0 0 -1 1 -1 0 0 0 -Q₅

6 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -Q₆

7 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 -Q₇

Запишем уравнение Бернулли (Баланса удельной энергии) для каждого участка сети:

Участки:

1. 

т.к. – напорно-расходная характеристика

насоса, а насос есть на участке 1.

2. 

3. 

4. (2)

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

Выпишем матрицу системы уравнений (2).

Видно, что матрица системы (2) является транспонированной матрицей А, где т-знак транспонирования.

Тогда система (2) в матричном виде будет:

Мы получили систему нелинейных уравнений:

(3)

Систему уравнений мы рассчитали с помощью программы Мaple и благодаря ей мы получили значения напоров и значения расходов в узлах сети (они приводятся в таблице результатов ниже)

Номер участка	Расход на участке х, л/с	Номер узла	Напор в узле H, м
1	133,00	1	15
2	71,48	2	79,89
3	49,48	3	78,55
4	34,09	4	76,58
5	15,00	5	69,7
6	5,91	6	65,27
7	33,91	7	70,16
8	8,61	8	76,96
9	61,52

Продолжая расчёты найдём потери напора на каждом участке:

,

где Н_н- напор в начале участка, Н_к- в конце участка.