Формула полной вероятности и формула Байеса
Ответ на вопрос:
Теорема
Если
событие
наступает
только при условии появления одного из
событий 
,
образующих полную группу несовместных
событий, то вероятность события
равна
сумме произведений вероятностей каждого
из событий
на
соответствующую условную вероятность
события
:
(2.1) |
При
этом события 
называются
гипотезами, а вероятности 
—
априорными. Эта формула называется
формулой полной вероятности.
Формула Байеса
Эта
формула применяется при решении
практических задач, когда событие
,
появляющееся совместно с каким-либо из
событий
,
образующих полную группу событий,
произошло и требуется провести
количественную переоценку вероятностей
гипотез
.
Априорные (до опыта) вероятности 
известны.
Требуется вычислить апостериорные
(после опыта) вероятности, т. е., по
существу, нужно найти условные
вероятности 
.
Для гипотезы 
формула
Байеса выглядит так:
Раскрывая
в этом равенстве 
по
формуле полной вероятности (2.1), получаем
Схема, формула, доказательство теоремы Бернулли.
Ответ на вопрос:
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну ту же вероятность.
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность не наступления события А в каждом испытании также постоянна и равна 1–р. Такая вероятностная схема называется схемой Бернулли. Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при п испытаниях по схеме Бернулли событие А осуществится ровно k раз (k – число успехов) и, следовательно, не осуществится п– раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности. Искомую вероятность обозначим Рп(k). Например, символ Р5(3) означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.
Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли, которая имеет вид:
Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие наступит раз в независимых испытаниях, равна: .
Доказательство теоремы
Пусть
проводится n
независимых испытаний, причём известно,
что в результате каждого испытания
событие A
наступает с вероятностью P(A)=p
и, следовательно, не наступает с
вероятностью
.
Пусть, так же, в ходе испытаний вероятности
p
и q
остаются неизменными. Какова вероятность
того, что в результате n
независимых испытаний, событие A
наступит ровно k
раз?
Оказывается можно точно подсчитать число "удачных" комбинаций исходов испытаний, для которых событие A наступает k раз в n независимых испытаниях, - в точности это количество сочетаний из n по k :
В
то же время, так как все испытания
независимы и их исходы несовместимы
(событие A
либо наступает, либо нет), то вероятность
получения "удачной" комбинации в
точности равна:
Окончательно,
для того чтобы найти вероятность того,
что в n
независимых испытаниях событие A
наступит ровно k
раз, нужно сложить вероятности получения
всех "удачных" комбинаций. Вероятности
получения всех "удачных" комбинаций
одинаковы и равны
, количество "удачных" комбинаций
равно Cn(k)
, поэтому окончательно получаем:
Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно так же заметить, что в силу полноты группы событий, будет справедливо:
