2. Вариантность.

3. Принятая модель.

4. Линеаризация модели.

5. Уравнения поправок.

6. Задание для Эврики или m-файл для MatLab.

7. Итерационный процесс.

8. Окончательный аналитический вид модели осадки.

9. График осадочного процесса.

10. Прогноз.

10. Вопросы:

1. В чем состоит задание ?

2. Для чего модель осадки пришлось раскладывать в ряд Тейло-

ра ? /Т.к.мы умеем решать только линейные ур-я поправок./

3. Являются ли построенные Вами уравнения поправок линейны-

ми ? /относительно чего ?/

4. Приведите пример, к котором параметры модели входит линейно ?

5. Есть ли линейная связь между параметрами в модели

y = 1/(kx + b) ?

6. Есть ли линейная связь между параметрами в модели

Y(X) = A + B∙sinX + C∙cosX ?

7. Y(X) = exp(-k∙X+b)

8. 1/Y(X) = A∙lnX + B

9. Y(x) = Ao + A1/x + A2/x²

10. Y(X) = sinA + B∙cosX

11. Y(x) = A∙X^B

12. Y(x) = X/(k∙X + b)

13. Какой критерий согласия использутся в данном решении ?

14. Где в задании для Эврики целевая функция ?

15. Равна ли нулю сумма поправок в модели

h(t) = hm ∙ ( 1 - exp(-al∙t) ) ?

16. Каков критерий сходимости данного итерационного процесса ?

17. При каких условиях данный итерационный процесс будет

расходиться ?

18. Почему итерационный процесс не всегда сходится ?

ЗАДАНИЕ 4. ПОСТРОЕНИЕ ОДНОМЕРНОГО КУБИЧЕСКОГО

ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО СПЛАЙНА ПО ТРЕМ ТОЧКАМ

1. Условие задачи: дано три точки, соответственно имеем два

звена сплайна. Построить сплайн и графически его изобразить

на А4

2. Вариантность.

X1 = 0; Y1 = 150мм + Nмм -> для N от 1 до 14

Y1 = 140мм + Nмм -> для N от 15 до 30

X2 = 130;

Y2 = 130мм + Nмм -> для N от 1 до 14

Y2 = 20мм + Nмм -> для N от 15 до 30

X3 = 240;

Y3 = 240мм + Nмм -> для N от 1 до 14

Y3 = 70мм + Nмм -> для N от 15 до 30

Краевые условия:

1 вариант: y''(1) = 0; y'(3) = 1;

2 вариант: y''(3) = 0; y'(1) = 1;

3 вариант: y''(1) = 0; y'(3) = -1;

4 вариант: y''(3) = 0; y'(1) = -1.

3. Модель имеет вид:

Для X1 <= x <= X2 ->> y = A0 + A1∙x + A2∙x^2 + A3∙x^3;

для X2 <= x <= X3 ->> y = B0 + B1∙x + B2∙x^2 + B3∙x^3;

4. "Построить" сплайн означает найти 8 низвестных коэффициентов Ai и Bi.

5. Находим эти неизвестные коэффициенты из следующих условий.

a. Условия интерполяции - их четыре.

S1(1)=Y1; S1(2)=Y2; S2(2)=Y2; S2(3)=Y3;

б. Условия совпадения первых и вторых производных на границах

интервалов - их - два:

S1'(2)=S2'(2); S1''(2)=S2''(2)

в. Краевые условия - их - два

Итого условий - 8 - по числу неизвестных коэффициентов

6. Пишем эту систему в матричном виде.

7. Рашаем систему в Matlab.

8. Через каждый сантиметр вдоль оси Х насчитать значения y и по

полученной таблице построить на А4 сплайн.

Вопросы.

1. В чем состоит задача.

2. Что означает "интерполяционный" сплайн ?

3. На основании каких условий строили сплайн ?

4. В чем заключаются условия интерполяции ?

5. Геометрический смысл первой и второй производных ?

6. Как можно проконтролированть построение данного сплайна ?

7. Как соотносится радиус кривизны и кривизна ?

8. Чему равна кривизна прямой и точки ?

ЗАДАНИЕ 5. КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Имеются 3 числа /измерения/: X1=1, X2=2, X3=6. По вариантам:

X1=1+N, X2=2+N, X3=6+N. Рассматривая эти числа как равноточные

измерения найти оценку измерений, такую которая максимально не проти-

воречила бы выполненным измерениям. При этом необходимо использо-

вать три разных критерия согласия: МНК, минимальной суммы моду-

лей (МСМ), принцип Чебышевского минимакса. Т.е. для каждого изме-

рения составить уравнения поправок, и решить эту систему:

1. под условием минимума суммы квадратов поправок,

2. под условием минимума суммы модулей поправок,

3. под условием минимума абсолютного значения максимальной из

поправок.

4. Найти среднее. Какое из решений соответствует найденному сред-

нему ?

Выбрать из поправок наибольшую по модулю (например|V3|), и ввести

ограничение на эту поправку, например: abs(V3) <= 2.

5. решить задачу под условием мин суммы квадратов поправок c при-

веденным ограничением.

При решении использовать табличный редактор Excel. Задачи МНК,

МНК с ограничениями и метод МСМ могут быть решены и с помощью

программы EUREKA. При решении задачи минимакса использовать Excel.

Соглашения, принятые в программе Eureka:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

1. Переход из окна в окно - F6.

2. Решение - Solve = Alt+S

3. Переход из окна к меню - Esc.

4. Вызoв калькулятора Alt+C

5. Выход из Eureka - Alt+x или через File.

Методика решения задачи в Excel:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

1. Получить свой вариант измерений, например: ИЗМ1=1, ИЗМ2=2,

ИЗМ3=6.

2. В табл Excel сделать "шапку" таблицы: "Изм-ния:", "Поправки:",

"Мод.поп.:".

3. Заполнить первую колонку табл.

4. Вторую колонку (Vi=X-ИЗМi) заполнять с сылкой на неизвестное X

как на изменяемую ячейку. Каждую ячейку заполнять начиная со

знака равно.

5. Под таблицей записать: "Оценка измерения=", а в качестве изме-

няемой ячейки принять, например, ячейку С5. Тогда ячейки во

второй колонке будут описаны как =С5-1, =С5-2, и т.д.

6. В третьей колонке записать все модули ячеек второй колонки ис-

пользуя функцию "ABS".

7. Следующая строка наз "Сумма квадратов=", а значение сум кв

назначенное через функцию "СУММКВ" будет находиться в ячейке

С6.

8. Следующая строка наз "Сумма модулей=", а значение сум мод наз-

наченное через функцию "СУММ" будет находиться в ячейке С7.

9. Следующая строка наз "Max модуль=", ее значение равно макси-

мальному модулю поправки, ее следует назначить в ячейку С8 че-

рез функцию "МАКС".

10. Следующая строка наз "Сумма поправок=", ее значение равно

сум поправок через функцию "СУММ" - ячейка С9.

11. Решить три оптимизационные задачи через "Сервис" - "Поиск ре-

шения" устанавливая целевую ячейку, изменяемую ячейку и при

этом заполняя сравнительные таблицы.

ПРИМЕЧАНИЕ. Чтобы в Excel 2007 пользоваться инструментом "Поиск решения"

следует его сначала инсталлировать. Для этого:

А. Щёлкнуть кнопку Office (слева вверху) - Параметры Excel - Надстройки -

- Поиск решения - Перейти. В колонке Доступные надстройки установить

флажок (поставить "птичку") Поиск решения. Далее - Установить.

Б. После установки инструмент Поиск решения будет доступен в меню Данные.

12. Решить эти три оптимизационные задачи с ограничениями запол-

няя сравнительные таблицы.

13. Выполнить анализ результатов вычислений в таблице приведенной

в качестве примера ниже:

---------------------------------------------

| МНК |MinCymMoдулей | MinMax |

|-------------|--------------|--------------|

| Xi | Xc |Vi | Xi | Xc | Vi | Xi | Xc | Vi |

|-------------|--------------|--------------|

| 1 2 | 1 1 | 1 2.5|

| 2 3 1 | 2 2 0 | 2 3.5 1.5|

| 6 -3 | 6 -4 | 6 -2.5|

|-------------|--------------|--------------|

|Cум V= 0 |Cум V= -3 |Cум V= 1.5|

|Cум V∙V= 14 |Cум V∙V= 17 |Cум V∙V= 14.75|

|Сум abs(V)=6 |Сум abs(V)= 5 |Сум abs(V)=6.5|

|Max модуль=3 |Max модуль= 4 |Max модуль=2.5|

---------------------------------------------

Давайте покритикуем полученные оценки. Оценка полученная по

МНК весьма претендует на безоговорочную, тем более что она обес-

печивает минимум дисперсии, а значит и минимальную СКО. Более то-

го МНК имеет и вероятностное обоснование, ее состоятельность сле-

дует из принципа максимального правдоподобия.

Интуитивно понимаем, что оценка измерений должна быть где-то

в середине измерений, но, извините, при чем здесь квадраты? Да,

оценка где-то в середине и при этом сумма модулей уклонений дол-

жна быть минимальной - это на наш взгляд звучит более убедительно.

Давайте покритикуем и такой подход. Мы сказали, что измере-

ния равноточны, т.е. степень доверия к каждому - одинакова. Поче-

му в таком случае одно измерение получило большую поправку - нап-

ример в МНК -3, а другое - +1 ? Почему такая дискриминация от-

дельных измерений ? В идеале все измерения (как равноточные и

равноправные) должны получить одинаковую поправку. Однако это не-

возможно алгебраически. В этом случае очевиден следующий подход -

искать такую оценку, которая обеспечит минимальную дискриминацию

измерений, чтобы максимальная из поправок была бы минимальной и

тогда поправки будут максимально равноправные.

Можно критиковать и такой подход. Некоторые методики измере-

ний перед обработкой сразу отбрасывают мин и макс значения. А в

методе минимакса мы строим на них всю оценку. В случае Minimax -

оценка измерений равна (MIN+MAX)/2. Как видно в такой оценке

имеет место учет MIN-го и MAX-го измерения, но здесь нет учета

остальных измерений. Поэтому вопрос о такой оценке, которая мак-

симально не противоречила бы полю измерений оставим открытым.

Заметьте:

1. Для МНК оценка при любом количестве измерений совпадает со

средним значением, формальный контроль - ∑V = 0.

2. Для метода MCМ - оценка всегда совпадает каким-либо измере-

нием, причем - если имеем только три измерения - оценка не

совпадает с экстремальными значениями, т.е.-и не 1 и не 6.

Если количество измерений больше, то оценку следует искать

также равной какому-либо измерению, но не экстремальному.

Искать перебором значений. Кстате, симплекс-метод для отыска-

ния такой оценки, также основан на переборе.

3. Для метода Чебышевского минимакса оценка при любом количестве

измерений совпадает с медианой, т.е. (MIN+MAX)/2.

4. Как видно если оценка одна, то такую задачу можно решать поч-

ти устно. А если у модели два коэффициента, например, модель

прямой y=kx+b ? Здесь задача отыскания оценок коэффициентов

модели, которые максимально не противоречили бы полю измере-

ний (точек), есть более сложная задача.

Решение оформить т.о.:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

1. Условие задачи.