Синтаксис:
V = vander(x) – возвращает матрицу Вандермонда порядка length(x), сформированную по значениям заданного вектора х.
Пример.
По значениям от 1 до 4 построим матрицу Вандермонда и ее графическое представление (рис. 10).
>> x = [1 2 3 4];
>> V = vander(x)
>> pcolor(V)
>> contourf(V)
V = |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
8 |
4 |
2 |
1 |
|
27 |
9 |
3 |
1 |
|
64 |
16 |
4 |
1 |
Рис. 10 Графическое представление матрицы Вандермонда
Матрица Вандермонда имеет широкое применение в теории приближений и в задачах защиты информации.
Матрица Уилкинсона (Wilkinson’s matrix)
Матрица Уилкинсона – симметрическая трехдиагональная матрица, наибольшие собственные значения которой попарно близки, но не являются кратными.
Синтаксис.
W = wilkinson(n) – формирует тестовую матрицу Уилкинсона порядка n для задачи на собственные значения.
Пример.
Построим тестовую матрицу Уилкинсона порядка n=5 и найдем ее собственные значения.
>> W = wilkinson(5)
W = |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
>> eig(W) % собственные значения
ans = |
-1.1149 |
|
0.3820 |
|
1.2541 |
|
2.6180 |
|
2.8608 |
Обычно в качестве тестовой используют матрицу для n=21. Построим ее графическое представление (pcolor) (рис. 11).
Рис. 11 Графическое представление матрицы Уилкинсона
Матрица Уилкинсона используется при решении задач, связанных с проблемой собственных чисел.
Матрица компаньон (compan)
Матрицей компаньоном называют матрицу собственные значения которой соответствуют корням многочлена.
Синтаксис.
A = compan(u) – возвращает матрицу компаньона, чей первый ряд – -u(2: n) /u(1), где u – вектор коэффициентов многочлена. Собственные значения compan(u) – корни многочлена.
Пример.
Построим
матрицу компаньон для полинома
,
Запишем вектор коэффициентов:
.
>> u=[1 -2 0 5 -3];
>> A = compan(u)
A = |
2 |
0 |
-5 |
3 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
Вычислим собственные значения матрицы:
>> eig(A)
ans = |
-1.4363 |
|
1.3760 + 1.0765i |
|
1.3760 - 1.0765i |
|
0.6843 |
Найдем корни полинома:
>> roots(u)
ans = |
-1.4363 |
|
1.3760 + 1.0765i |
|
1.3760 - 1.0765i |
|
0.6843 |
Как видно из результатов примера. собственные числа сформированной матрицы совпадают с корнями полинома.