7. Определение вероятности безотказной работы вторичного прибора

Для совокупности первичных преобразователей, работающих с многоточечным вторичным прибором по формулам производят расчет вероятностей обоих видов отказов и безотказной работы по каждому из измерительных каналов. Естественно, что метрологический или внезапный отказ вторичного прибора приводит к отказу соответствующего вида по всем каналам.

Информационно-измерительная система – ИС является многофункциональной. Отказ коммутатора приводит к отказу всей системы, отказ АЦП вызывает отказ значительной части функций: цифровой индикации, периодической реги­страции, сигнализации и регистрации аварийных отклонений. Подобно рассмотренному выше в ИС могут быть определены для каждой измеряемой величины по каждой функции, т. е. по вызову на показывающий прибор, вызову на индикатор, или по периодической регистрации.

Вероятность отсутствия внезапных и метрологических отка­зов по каждой из функций будет:

8. Определение вероятности безотказной работы системы при увеличении числа равнонадежных элементов

Системой с последовательным соединением элементов называется система, в которой отказ любого элемента приводит к отказу всей системы.

В системе с последовательным соединением для безотказной работы в течение некоторой наработки t необходимо и достаточно, чтобы каждый из ее n элементов работал безотказно в течении этой наработки. Считая отказы элементов независимыми, вероятность одновременной безотказной работы n элементов определяется по теореме умножения вероятностей. Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

(1)

(далее аргумент t в скобках, показывающий зависимость показателей надежности от времени, опускаем для сокращения записей формул). Соответственно, вероятность отказа такой ТС

(2)

Из формул (1) - (2) очевидно, что даже при высокой надежности элементов надежность системы при последовательном соединении оказывается тем более низкой, чем больше число элементов (например, при р = 0,95 и n = 10 имеем Р = 0,60, при n =15 Р = 0,46, а при n =20 Р = 0,36). Кроме того, поскольку все сомножители в правой части выражения (1) не превышают единицы, вероятность безотказной работы ТС при последовательном соединении не может быть выше вероятности безотказной работы самого ненадежного из ее элементов (принцип “хуже худшего”) и из малонадежных элементов нельзя создать высоконадежной ТС с последовательным соединением.

Если все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации и имеет место простейший поток отказов, наработки элементов и системы подчиняются экспоненциальному распределению и на основании (1) можно записать

(3)

где (4)

есть интенсивность отказов системы. Таким образом, интенсивность отказов системы при последовательном соединении элементов и простейшем потоке отказов равна сумме интенсивностей отказов элементов.

Из (3) - (4) следует, что для системы из n равнонадёжных элементов ( )

(5)

т

Лист

.е. интенсивность отказов в n раз больше, а средняя наработка в n раз меньше, чем у отдельного элемента.

9. Определить вероятность безотказной работы при параллельном соединении элементом автоматики

Системой с параллельным соединением элементов называется система, отказ которой происходит только в случае отказа всех ее элементов:

Рис. 10 Системой с параллельным соединением

Такие схемы надежности характерны для систем, в которых элементы дублируются или резервируются, т.е. параллельное соединение используется как метод повышения надежности.

Однако такие системы встречаются и самостоятельно (например, системы двигателей четырехмоторного самолета или параллельное включение диодов в мощных выпрямителях).

Для отказа системы с параллельным соединением элементов в течение наработки необходимо и достаточно, чтобы все ее элементы отказали в течение этой наработки.

Поэтому отказ системы заключается в совместном отказе всех элементов, вероятность которого (при допущении независимости отказов) может быть найдена по теореме умножения вероятностей как произведение вероятностей отказа элементов:

Q = q₁ q₂ ... q_n

Соответственно, вероятность безотказной работы системы с параллельным соединением элементов

P = 1 - Q

Для системы состоящей из параллельно включенных равнонадежных элементов (р_i = р)  вероятность отказа системы можно вычислить по формуле

Q = qⁿ

При этом вероятность  безотказной работы системы, состоящей из параллельно соединенных равнонадежных элементов, будет

P = 1 - qⁿ  = 1 - (1 - p)ⁿ ,  q = 1 - p

т. е. надежность системы с параллельным соединением повышается при увеличении числа элементов (например, при вероятности безотказной работы элемента системы р = 0.9 и количестве параллельно включенных элементов n = 2 вероятность безотказной работы системы будет Р = 0.99, а при n = 3 вероятность безотказной работы системы станет уже Р = 0.999 ).

Поскольку q_i  < 1, произведение Q = q₁ q₂ ... q_n  всегда меньше любого из со множителей, т.е. вероятность отказа системы не может быть выше вероятности самого надежного ее элемента (“лучше лучшего”) и даже из сравнительно ненадежных элементов возможно построение вполне надежной системы.

При экспоненциальном распределении наработки элементов системы p(t) = exp( - λ · t) вероятность безотказной работы системы можно найти по формуле:

Р = 1 - [ 1 - ехр( - λ · t) ]ⁿ

Средняя наработка на отказ (между отказами) есть математическое ожидание наработки до очередного отказа. Поэтому после интегрирования и преобразований получим формулу для вычисления средней наработки системы

T₀ = (1/λ ) Σ (1/i) = T_oi Σ (1/i)

где i = 1, 2, ... , n Т_oi = 1/λ_i - средняя наработка элемента.

При больших значениях n для вычисления средней наработки на отказ можно применить приближенную формулу

Т₀ = T_oi (ln n + 1/2n +0,577).

Таким образом, средняя наработка системы с параллельным соединением больше средней наработки ее элементов (например, при n = 2 cредняя наработка системы на отказ будет  Т_o = 1.5 T_oi , при n = З   она уже увеличится и составит T₀ = 1.83 T_oi ).

Пример. Два элемента системы с равными интенсивностями отказов

λ = λ₁ =  λ₂ = 0,25 · 10 ^-6  ч^-1 соединены паралельно. Элементы системы работают в режиме нормальной эксплуатации (простейший поток отказов) и отказы их независимы друг от друга.

Построить график изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки. Сделать выоды о влиянии надежности элементов на надежность системы.

Решение. Два равнонадёжных элемента p = p₁ = p₂ ( с равными интенсивностями отказов  λ ) соединены параллельно. Для отказа системы с параллельным соединением элементов в течение наработки необходимо и достаточно, что бы все элементы отказали в течение этой наработки. Вероятность такого события ( при допущении независимости отказов элементов ) может быть найдена по теореме умножения вероятностей как произведение вероятностей отказов элементов:

Q = q₁ · q₂ = q² ,  q = q₁ = q₂

Соответственно, вероятность безотказной работы системы

P = 1 - Q = 1 - q² = 1 - ( 1 - р )² , q = 1 - p ,  p = p₁ = p₂

P = p ( 2 - p )

Так как все элементы системы работают в периоде её нормальной эксплуатации ( простйший поток отказов ), то вероятность безотказной работы элемента

р = exp ( - λ · t ) = exp ( - 0,25 · 10^-6 · t )

Р

Таблица 3

езультаты расчетов сведены в таблицу

Вероятность безотказной работы:	Время наработки системы t · 106  ч
	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
элемента р	0,8825	0,7788	0,6873	0,6065	0,5353	0,4724
системы Р	0,	0,	0,	0,	0,	0,

По данным таблицы построены графики зависимости вероятности безотказной работы Р системы и ее элементов р от времени t её наработки:

Из анализа видно, что интенсивность отказов системы, состоящей из паралельно включенных элементов ниже, а средняя наработка выше, чем у отдельного её элемента.