Округление чисел.

Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от той значащей цифры, или если, это нужно для сохранения разрядов, заменяют нулями. При этом

1) если первая из отброшенных цифр < 5, то оставшиеся знаки остаются без изменений;

2) если первая из отброшенных цифр >5, то к последней оставшейся цифре добавляется единица;

3) если первая из отброшенных цифр = 5, то последняя увеличивается на 1, если она нечётная, и последняя не изменится, если она чётная.

Такое правило означает, что погрешность округления не превышает 1/2 десятичного разряда оставшейся значащей цифры.

Пример:

 = 3,1415926535

5 значащих: 3.1416;

4 значащих: 3.142;

3 значащих: 3.14.

Точность приближённого числа не зависит от количества значащих цифр, а зависит от верных значащих цифр.

В тех случаях, когда приближённое число содержит излишнее количество неверных значащих цифр, прибегают к округлению по следующему правилу: число значащих цифр промежуточных результатов не должно превышать числа верных цифр более, чем на 1 или 2.

Приведённое правило позволяет без ущерба точности вычисления избегать написания (сохранения) лишних цифр и значительно экономит время вычисления.

Связь относительной погрешности приближённого числа с количеством верных цифр этого числа.

Теорема: если положительное число а* имеет n верных десятичных знаков (цифр), то относительная погрешность этого числа не превосходит (1/10)^n-1, делённого на первую значащую цифру данного числа, т.е.

(_m)·(1/10)^n-1

Следствие: предельная относительная погрешность числа а* равна _a(_m)·(1/10)^n-1.

Данная теорема имеет следующее прикладное значение:

1) по числу верных цифр приближённого числа можно определить относительную погрешность;

2) по относительной погрешности можно определить количество верных цифр.

Пример:

а) Число  в вычислениях заменяют приближённым а* = 3,14 (все цифры верны), необходимо определить _a:

_a(_m)·(1/10)^n-1 = | _m=3, n=3 | = (1/3)·(1/10)² = 1/300

б) Со сколькими десятичными знаками нужно взять , чтобы относительная погрешность не превысила 0.1%.

Т.к. первая цифра 4 ( = 4, =5 => = 4. ....), то _m=4, причём = 0.001. Имеем:

1/(4·10^n-1) 0.001 => 10^n- и n  4

т.е. при вычислениях необходимо брать не менее 4 цифр.

Ориентировочно можно рекомендовать следующее: при относительной погрешности 10% достаточно 2 верных знака, при 1% - 3; 0.1% - 4; 0.01% - 5.

Лекция № 2 Погрешность суммы.

Теорема 1: Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближённых чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

Доказательство:

Пусть x₁, x₂, ..., x_n - данные приближённого числа. Алгебраическая сумма:

u =  x₁  x₂  ... x_n

Следовательно абсолютная погрешность:

u = x₁  x₂  ... x_n

и, следовательно,

|u|  |x₁|  |x₂|  ... |x_n|.

Следствие: За предельную абсолютную погрешность алгебраической суммы можно принять сумму абсолютных погрешностей слагаемых.

_u = x₁  x₂  ... x_n

Следовательно предельная абсолютная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного слагаемого, отсюда как бы точны не были другие слагаемые, точность суммы не увеличивается, отсюда нет смысла сохранять излишние знаки в более точных слагаемых.

Из выше сказанного, следует практическое правило сложения приближённых чисел:

1. выделяют числа, десятичная запись которых обрывается ранее других, и оставить их без изменения;

2. остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один или два запасных десятичных числа;

3. произвести сложение;

4. полученный результат округлить на один знак.

Пример: Даны следующие числа:

245,4

10,91

12,048

3,2

0,0925

1)

₁ = 0,05

₂ = 0,005

₃ = 0,0005

₄ = 0,05

₅ = 0,00005

(5, т.к. абсолютная погрешность числа не превышает половины единицы разряда).

2. наименьшая точность у первого и четвёртого числа:

₁ = 0,05

₄ = 0,05

3. округляем остальные до второго знака после запятой:

245,4

10,91

12,05

3,2

0,09

271,75

4. округляем 271,75  271,8 подсчитываем абсолютную погрешность суммы.

5. абсолютная погрешность слагаемых:

₁ = 0,05+ 0,005+ 0,0005+ 0,05+ 0,00005 = 0,10555

6. погрешность округления с учётом знака:

₂ = |0+0-0,002+0,0025| = 0,0005

7. погрешность округления результата:

₃ = 0,05 (т.к. брали по наименьшей точности)

 = ₁ +₂ +₃ = 0,10555+0,0005+0,05 = 0,15605

Т.О. 271,8 0,15605

Теорема 2: Если слагаемые одного знака, то предельная относительная погрешность их суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых.

Доказательство:

Пусть u = x₁+ x₂  ... x_n (т.е. возьмём арифметическую сумму, а не алгебраическую). Обозначим через A_i (A_i > 0; i = 1,2, ...n) точные величины слагаемых x_i, а через A = A₁+A₂+ ...+A_n - точное значение суммы u.

Следовательно за предельную относительную погрешность суммы принимаем:



Т.к.

, тo

_xi = A_i ·_xi.

.

Пусть является наибольшей из относительных погрешностей _xi, т.е. x_i  , отсюда

Получаем , т.е. предельная относительная погрешность не превышает наибольшей из предельных погрешностей слагаемых:

_u max(_xi).