Первая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть для функции y=f(x) заданы значения y_i=f(x_i) для равноотстоящих значений независимой переменной x_i=x₀+i*h (i=0,n) , где h - шаг интерполяции.

Требуется подобрать полином P_n(x) степени не выше n, принимающий в точках x_i значения P_n(x_i)=y_i (i=0,n)

Ньютон решил поставленную задачу:

P_n(x)=y₀+q y+ + y₀,

где q= .

Эта формула называется первой интерполяционной формулой Нью-тона.

К

аков физический смысл имеет переменная q в первой интерполяционной формулой Ньютона.

q= ,

где k - число шагов, необходимых для достижения точки x , исходя из точки x₀.

Рассмотрим частные случаи n=1 или n=2:

n=1 P₁(x)=y₀+q y₀ – линейное интерполирование

n=2 P₂(x)=y₀+q y₀+ ²y₀–параболическое (квадратичное) интерполирование

Пример: необходимо построить интерполяционный полином Ньютона для функции y= на отрезке c h=1

X	4	5	6	7	8
Y	0.25	0.2	0.167	0.143	0.125

Горизонтальная таблица разностей.

x	y	y	2y	3y	4y
4	0.25	-0.05	0.017	-0.008	0.005
5	0.2	-0.033	0.009	-0.003
6	0.167	-0.024	0.006
7	0.143	-0.018
8	0.125

Т.о., при наличии 5 точек максимальный порядок существующей конечной разности =4, максимальная степень полинома =4.

P₄(x)=y₀+q y₀+ + y₀+

Как пользоваться формулой?

Допустим, необходимо определить значение в точке x=4.4

Узловые точки x₀=4, h=1,тогда q=

Т очное значение =0.22727.

Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования значений вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

P_n(x)=y_n+q y_n-1+ + y₀,

Пример: y= sin x x , h=5

Горизонтальная таблица разностей.

x	y	y	2y	3y	4y	5y
30	0.5000	0.0736	-0.0044	-0.0005	0	0.0002
35	0.5736	0.0692	-0.0049	-0.0005	0.0002
40	0.6428	0.0643	-0.0054	-0.0003
45	0.7071	0.0589	-0.0057
50	0.7660	0.0532
55	0.8192

Пример: Отыщем sin(51 ^o), x_n=51, x=50^o, q=0.2

Как первая, так и вторая формула Ньютона может быть использована для экстраполирования функции, т.е. для нахождения значений функции y для значений аргументов x, лежащих вне пределов таблицы.

Если x<x₀, то лучше применять первую интерполяционную функцию Ньютона.

Если x>x_0, то лучше применять вторую интерполяционную функцию Ньютона.

Т.е., 1ИФН используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад.

2 ИФН используется для интерполирования назад и экстраполирования вперёд.

Как видно из формул 1 и 2 , при интерполяции используется разности: в 1ИФН ⁿy₀ , во 2ИФН ^ky_{k+_} .

Но существуют формулы, называемые формулы с центральными разностями, к ним относятся:

• ИФ Гаусса

• ИФ Стерлинга

• ИФ Бесселя,

которые используют разности, расположенные в горизонтальной строке диагональной таблицы, соответствует начальным значениям x_k, y_k или в строках близлежащих.

Но все эти формулы работают только для постоянного шага.

Необходимо отметить следующее:

при построении интерполяционных формул Ньютона в качестве начального значения выбирается первый или последний узел интерполирования; для центральных формул начальный узел является средним.

При применяют формулу Стирлинга, а при - Бесселя.

1ИФН и 2ИФН применяют тогда, когда интерполирование производится в начале или в конце таблицы и нужных центральных разностей не хватает.