Задача 3

Вы – новый руководитель фирмы, производящей дорогостоящие автоматизированные станки. В настоящее время фирма производит 100 станков в год. Вам необходимо проанализировать и при возможности оптимизировать работу фирмы.

Задание

Определите оптимальное количество станков x*, которое необходимо выпускать в год для оптимизации прибыли при следующих условиях функционирования фирмы:

- Цена продажи одного станка равна 69 млн. руб.

- Постоянные издержки фирмы равны 290 млн. руб., переменные издержки равны

млн. руб.

- На отечественном рынке возможно продать только 90 станков в год. Все остальная выпущенная продукция продается за границей за ту же цену, но с оплатой таможенной пошлины 29 млн. руб. за каждый импортируемый станок.

- Для крупного выпуска продукции (97 и более станков в год) необходимо в этом году заплатить экологическую пошлину, равную 429 млн. руб.

- Сформулируйте оптимальное экономико-управленческое решение в имеющихся условиях.

- Дайте экономическое обоснование полученного решения.

- Приведите сравнение предлагаемого Вами плана выпуска станков с используемым ранее вариантом. Обоснуйте необходимость изменений.

- Приведите график зависимости прибыли от количества выпускаемой продукции. Обоснуйте свое решение с помощью графика.

В задании данной темы:

C_f=290, K₁=7.5, K₂=0.11, P=69, T=29, S=429, X_T=90, X_S=97.

Решение:

1) Прибыль предприятия найдем по формуле:

П = I – C_f – C_v

где I – доход предприятия от продажи станков;

С_f = 290 млн. руб. – постоянные расходы предприятия;

С_v – переменные расходы предприятия.

I = 69∙х, C_v = 7,5∙х + 0,11∙х²

Тогда прибыль предприятия при производстве 100 станков в год составит:

П = 69∙100 – 290– (7,5∙100 + 0,11∙100²) = 4760 млн. руб.

2) При производстве х ≤ 90 станков прибыль предприятия рассчитывается по формуле:

П = 69х – 290 – (7,5х + 0,11х²)

П=69х-7,5х-0,11х²-290

При производстве 90 < x ≤ 97 станков прибыль предприятия рассчитывается по формуле:

П = 69∙90 + (69 – 29)∙(х – 90) – 290 – (0,11х² + 7,5∙х)

П = 2320 + 32,5х –0,11∙х²

При производстве х > 97 станков прибыль предприятия рассчитывается по формуле:

П = 69∙90 + (69 – 29)∙(х – 90) – 290 – (7,5х + 0,11х²) – 429

П = 1891 + 32,5х – 0,11х²

Прибыль фирмы запишется в виде:

Найдем производную функции

Определим точки, где производная равна 0.

Рассмотрим интервал (0; 90)

61,5 – 0,22х = 0

0,22х = 61,5

х = 279,545  (0; 90)

На указанном интервале нулей производной нет.

Рассмотрим интервал (90; 97)

32,5 – 0,22х = 0

0,22х = 32,5

х = 147,727  (90; 97)

На указанном интервале нулей производной нет.

Рассмотрим интервал (97; +∞)

32,5 – 0,22х = 0

0,22х = 32,5

х = 147,727

Найдем значения функции при х = 147 и х = 148

П(147) = 1891 + 32,5∙147 – 0,11∙147² = 1891+4777,5-2376,99=4291,51

П(148) = 1891 + 32,5∙148 – 0,11∙148² = 1891+4810-2409,44=4291,56

Т. е., произведя 148 станков, фирма получит прибыль 4291,56 млн. руб.

Вычислим значения функции в точках разрыва

П(90) = 61,5∙90 – 0,11∙90²-290 = 5535-891-290=4354

П(97) = 2320 + 32,5∙97 – 0,11∙97² = 2320+3152,5-1034,99=4437,51

П(х  +∞) =

Из всех найденных значений целевой функции выберем самое большое:

П = 4437,51 при х = 97

Т. о., оптимальное управленческое решение будет таким:

Фирме следует производить 100 станков в год, прибыль фирмы при этом составит 4760 млн. руб. Это решение оптимально, нет необходимости повышать или понижать производство.

Рис. 1 График экономических показателей

По графику (Рис.1) видно, оптимальная прибыль находится в точке максимума х=100, после этой точки прибыль заметно падает.

Поэтому принимаем управленческое решение выпускать 100 станков в год.