Задания районной, городской олимпиады по математике 2003 года

9 класс

1. Рассматриваются квадратичные функции вида у = х² + рх + g , у которых . Докажите, что их графики проходят через одну точку.

2 балла

2. Электрический провод длиной 25 м ночью был перерезан где-то в одном месте. Можно ли из образовавшихся двух частей провода вырезать куски длиной 1, 2, 3, 6 и 12 м?

3 балла

3. Из пункта А в пункт В одновременно отправляются катер и плот. Приплыв в пункт В, катер тут же отправляется обратно. Вернувшись в пункт А, он немедленно отплывает в пункт В и догоняет плот как раз в пункте В. Во сколько раз быстрее плота плыл катер на участке от пункта А до В?

4 балла

4. Пусть х, у, z – натуральные числа, причем х² + у² = z². Докажите, что х, у, или z кратно 5.

5 баллов

5. Точка D – середина стороны АС треугольника АВС, DE и DF – биссектрисы треугольников АВD и CBD. Отрезки BD и EF пересекаются в точке М. Докажите, что .

6 баллов

Задания районной, городской олимпиады по математике 2003 года

10 класс

1. На координатной плоскости отмечены точки A(0, 0), B(1, 0), C(3, 0), D(4, 0), E(–2, 5), F(–1, 5), G(8, 5), H(9, 5). Может ли график квадратного трехчлена пересекать четыре отрезка: AB, CD, EF и GH?

3 балла

2. Найдите шестизначное число такое, что если стереть его последнюю цифру и приписать ее спереди, то получится число, в 5 раз большее исходного.

4 балла

3. Пусть cosх  0. Докажите неравенство .

3 балла

4. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты х, у которых удовлетворяют неравенству .

5 баллов

5. Найдите угол при вершине С остроугольного треугольника АВС, если известно, что отрезок HN, соединяющий основания высот AH и BN, пересекает биссектрису угла при вершине С в ее середине.

5 баллов

Задания районной, городской олимпиады по математике 2003 года

11 класс

1. В каждой клетке таблицы 2003  2003 стоит один абитуриент. По команде «Тест!» каждый абитуриент переходит в какую-то соседнюю по стороне клетку. Докажите, что после выполнения этой команды два каких-то абитуриента встретятся на одной из клеток.

2 балла

2. При каких значениях а число решений уравнения равно а?

4 балла

3. Рассматриваются квадратные трехчлены вида x² + px + g с целыми коэффициентами, при этом p + g = 30. Сколько таких трехчленов имеют целые корни?

4 балла

4. Найдите все функции f(x), заданные на множестве всех действительных чисел и принимающие действительные значения, такие, что для всех действительных х выполнено равенство

х = f(x) + f({x}).

(Здесь {x} обозначает дробную часть числа х.)

5 баллов

5. В треугольной призме АВСА₁В₁С₁ с основанием АВС ребра АВ, АС и АА₁ попарно перпендикулярны и равны 2м. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, АА₁ и А₁С₁.

5 баллов