Указания, решения и комментарии

11 Класс

1. Доказательство. Раскрасим таблицу в шахматном порядке. Так как всего клеток нечетное число, то клеток одного цвета будет больше, чем клеток другого. Для определенности, пусть белых клеток больше, чем черных. Основное свойство перехода по команде «Тест!» состоит в том, что при этом переходе меняется цвет клетки, на которой стоит абитуриент. Значит, «белым» абитуриентам не хватит «черных» клеток, для того, чтобы встать на них по одному. Поэтому, какие-то два абитуриента, стоявшие на белых клетках после перехода обязательно встретятся на черной клетке.

2. Ответ: 7.

Решение. Построим график функции (см. рис).

Рис.

Проводя горизонтали у = а при различных а, получаем следующую информацию о числе пересечений этой горизонтали с графиком функции

а	(– ; 0)	0	(0; 7)	7	(7; 9)	9	(9; + )
Число решений	0	4	8	7	6	4	2

Очевидно, что а может принимать только целые неотрицательные значения.

Из таблицы видно, что при а = 7 данное уравнение имеет 7 решений, другие же значения а поставленному условию не удовлетворяют.

Комментарий. Ответ без объяснений – 1 балл.

3. Ответ: два трехчлена х² – 34х + 64 и х² + 30х.

Решение. Пусть х₁ и х₂ – целые корни трехчлена х² + px + g. Тогда p = –(x₁ + + x₂), g = x₁x₂. Откуда 30 = p + g = (х₁ –1) (х₂ –1) – 1, или (х₁ –1) (х₂ –1) = 31. Так как число 31 – простое, оно может быть представлено в виде произведения двух целых чисел только как 131 или (–1)(–31). В первом случае получаем, что корнями трехчлена являются числа 2 и 32 (трехчлен х² – 34х + 64), а во втором случае – числа 0 и –30 (трехчлен х²+ + 30х).

Комментарий. Ответ без объяснения – 2 балла.

3. Ответ: f (x) = x – {x}.

Решение. Полагая в равенстве из условия x = {t}, где t – произвольное действительное число, и учитывая, что {{t}} = {t}, получим {t} = 2f({t}), или f({t}) = {t}. Таким образом, при всяком действительном х имеем f({x}) = {x}. Подставляя это в выражение для f({x}) в равенство из условия и выражая оттуда f(x), получим f (x) = x – {x}.

Обратно, прямая подстановка показывает, что эта функция удовлетворяет условию задачи.

Комментарий. Ответ без объяснений – 1 балл.

3. Ответ: м.

Решение. Данная призма является половиной куба, который рассекли плоскостью, проходящей через диагонали двух противолежащих граней ABCD и A₁B₁C₁D₁ (см. рис.). Если указанное сечение провести в «удвоенной» призме, т.е. в кубе, то получится правильный шестиугольник со стороной, равной . Его площадь равна , а значит, площадь искомого сечения – в два раза меньше.

Комментарий. Ответ без объяснений – 2 балла.

Рис.