3.2. Первая операция изотермической вытяжки на радиальных матрицах
Рассмотрим
первую операцию изотермической
комбинированной вытяжки
трансверсально-изотропного материала
с коэффициентом нормальной анизотропии
на радиальной матрице с радиусом
закругления
и степенью деформации
(рис. 3.2), где
- коэффициент вытяжки;
- коэффициент утонения;
и
- радиус по срединной поверхности
полуфабриката и начальный радиус
заготовки;
и
- толщина полуфабриката и заготовки
соответственно.
Первая
стадия процесса.
Рассмотрим распределение напряжений
в заготовке на первой стадии процесса
комбинированной вытяжки при наличии
трех характерных участков (рис. 3.6). Очаг
деформации состоит из трех участков:
участок Iа расположен на плоскости
матрицы и ограничен краем заготовки с
текущей координатой
с одной стороны и постоянной координатой
,
точкой сопряжения плоского и криволинейного
участков матрицы; участок Iб охватывает
входную кромку матрицы и ограничен
угловыми координатами
и текущим значением угла охвата заготовкой
тороидальной поверхности матрицы
;
участок Iв (участок бесконтактной
деформации) расположен между входной
кромкой радиальной матрицы и кромкой
пуансона.
Принимается,
что напряженное состояние плоское (
);
на контактных границах заготовки и
рабочего инструмента реализуется закон
трения Кулона.
Рисунок 3.2. Схема к теоретическому анализу первой стадии
комбинированной вытяжки через радиальную матрицу
Уравнения связи между скоростями деформаций и напряжениями в цилиндрической системе координат имеют вид
;
;
(3.1)
,
где
эквивалентное напряжение
и эквивалентная скорость деформации
определяются по формулам
|
(3.2) |
|
(3.3) |
;
.
Меридиональные
и окружные
напряжения на участке Iа
определяем путем численного решения
приближенного уравнения равновесия
(3.4)
совместно с уравнением состояния
,
(3.5)
при граничных условиях
,
(3.6)
где
,
(3.7)
-
текущий радиус рассматриваемой точки;
;
- коэффициент трения на контактной
поверхности матрицы и прижима;
- сила прижима;
- текущая толщина заготовки.
При
анализе процесса вытяжки без прижима
в граничном условии (3.6) необходимо
положить
.
Рассмотрим кинематическое и деформированное состояние материала на этом участке.
Скорости деформации в меридиональном, тангенциальном направлениях и по толщине определяются по выражениям
;
;
.
(3.8)
Используя уравнение несжимаемости
и уравнения связи скоростей деформаций
и напряжений, найдем
,
(3.9)
где
.
(3.10)
Уравнение для определения изменения толщины заготовки во фланце запишется как
.
(3.11)
Для нахождения меридионального и окружного напряжений на тороидальной поверхности матрицы (участок Iб) решаем совместно условие равновесия
(3.12)
и уравнения состояния (3.5) при граничных условиях
при
,
(3.13)
где
- угол, характеризующий положение
рассматриваемого сечения заготовки на
тороидальной поверхности матрицы;
;
;
- величина меридионального напряжения
во фланце заготовки (участок Ia),
вычисленная при
;
- сопротивление материала деформированию
при
.
Уравнения
для определения меридиональных скоростей
и толщины заготовки в данном случае
будут иметь вид аналогичный выражениям
(3.10) и (3.11), где
– меридиональная скорость течения.
Уравнения для определения меридиональных скоростей и толщины будут иметь вид
;
,
(3.14)
где – меридиональная скорость течения.
Распределение меридиональных и окружных напряжений на конусообразном участке бесконтактной деформации определяется путем численного интегрирования уравнения равновесия (3.4) с уравнением состояния (3.5) при граничном условии
,
.
(3.15)
Здесь
- угол, определяющий границу тороидального
и конусообразного участков;
;
- меридиональное напряжение на тороидальной
поверхности матрицы, вычисленное при
;
- сопротивление материала деформированию
при
.
В выражении (3.15) последнее слагаемое учитывает приращение меридионального напряжения, связанное со спрямлением заготовки .
Начальная стадия процесса вытяжки оканчивается в момент полного прилегания заготовки к конической поверхности матрицы.
Положение
внешнего края
в процессе деформации вычисляется из
условия постоянства площади поверхности
заготовки в зависимости от угла охвата
заготовкой тороидальной поверхности
матрицы или глубины вытяжки (пути
пуансона).
Сила процесса на первой стадии при любой глубине вытяжки, определяемой углом , находится по формуле
.
(3.16)
При анализе процесса вытяжки без прижима в граничном условии (3.6) необходимо положить .
Уравнения для определения меридиональных скоростей и толщины заготовки в данном случае будут иметь вид аналогичный выражениям (3.9) и (3.11), где – меридиональная скорость течения.
Следует
отметить, что при
конусообразный участок Iв исчезает.
Здесь
;
.
Сила процесса на первой стадии вытяжки при любой глубине вытяжки, определяемой углом , находится по формуле
,
(3.17)
где
- величина меридиональных напряжений
на конусообразном
участке бесконтактной деформации при
.
Третья стадия процесса комбинированной вытяжки начинает реализовываться с момента полного охвата заготовкой контура закругления пуансона и матрицы и формирования зоны утонения (рис. 3.7).
Рисунок 3.3. Схема к теоретическому анализу третьей стадии
комбинированной вытяжки через радиальную матрицу
Расчет
меридиональных
и окружных напряжений
в зоне I очага
пластической деформации осуществляется
аналогичным образом, как для первой
стадии процесса.
Величины меридиональной скорости и толщины заготовки на третьей стадии определяются аналогичным образом, как и для первой стадии, по выражениям (3.9) и (3.11), где – меридиональная скорость течения.
Граничное условие для скорости будет:
при
,
,
где
- текущая толщина материала заготовки
при входе в зону II.
Приближенный анализ распределения напряжений в зоне II выполняется с упрощением его конфигурации путем замены дуги профиля матрицы в пределах этого участка хордой и рассмотрением течения в канале сечения с углом (рис. 3.8)
,
(3.18)
где - текущая толщина материала заготовки при входе в зону II.
Течение материала реализуется в условиях плоской деформации; на контактных границах заготовки и инструмента реализуется закон трения Кулона.
Рисунок 3.4. Схема к расчету напряженного состояния заготовки
в зоне плоского деформированного состояния
Для
определения компонент напряжений в
зоне II
(радиальных
и контактных
напряжений) и повреждаемости материала
следует решать совместно следующие
уравнения
;
(3.19)
;
;
(3.20)
;
(3.21)
и уравнение равновесия (рис. 3.5)
,
(3.22)
если
поведение материала описывается
энергетической теорией ползучести и
повреждаемости, при учете граничного
условия при
,
,
где
- приращение напряжения, связанное с
изменением направления течения материала
при входе в зону утонения II,
величина которого определяется по
выражению
.
(3.23)
В том случае, когда поведение материала подчиняется кинетической теории ползучести и повреждаемости, используются уравнения (3.20), (3.22), (3.23) и вместо уравнения состояния (3.21) – уравнение (3.25).
Силу процесса комбинированной вытяжки определяем по формуле:
.
(3.24)
Четвертая стадия комбинированной вытяжки начинается, когда концевая часть заготовки входит в зону утонения. Этому моменту соответствует максимальная величина нормального напряжения формоизменения на этой стадии. Величина радиального и контактного напряжений на четвертой стадии комбинированной вытяжки определяются путем решения системы уравнений (3.19) - (3.22) при учете граничного условия
,
.
В
случае изотропного материала с изотропным
упрочнением в приведенных выше формулах
следует положить
и
.