§2. Фазовые портреты линейной системы второго порядка

Запишем дифференциальное уравнение системы в виде

(8-5)

Здесь y₁ – выходная координата системы,

a₀, a₁, a₂ – постоянные коэффициенты.

Перепишем уравнение (8-5) в фазовых координатах. Для этого обозначим скорость изменения y₁ через y₂

Тогда уравнение (8-5) можно записать в виде двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Разделив второе уравнение на первое, имеем:

(8-6)

Проинтегрировав полученное дифференциальное уравнение, получим уравнение фазовых траекторий

y₂=f(y₁,c₁,c₂), где c₁, c₂ – постоянные интегрирвания.

Очевидно, что конкретный вид функции f будет зависеть от коэффициентов a₀, a₁, a₂, которые определяют также корни характеристического уравнения данной системы.

Уравнению (8-5) соответствует характеристическое уравнение a₂p²+a₁p+a₀=0

Корни этого уравнения будут:

Возможно шесть различных случаев:

1. корни чисто мнимые при a₁=0; a₀>0; a₂>0 (граница устойчивости системы): p_1,2=±i; =a₀/a₂

2. корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части при a₁²<4a₀a₂; a₀>0; a₁>0; a₂>0 (устойчивая система)

3. корни комплексные и имеют положительные вещественные части при a₁²<4a₀a₂; a₀>0; a₁<0; a₂>0 (неустойчивая система): p_1,2=±i

4. корни вещественные отрицательные при a₁²>4a₀a₂; a₀>0; a₁>0; a₂>0 (устойчивая система):

5. корни вещественные положительные при a₁²>4a₀a₂; a₀>0; a₁<0; a₂>0 (неустойчивая система): p_1,2=±β

6. корни вещественные и имеют различные знаки при a₀<0; a₁≥0; a₂>0 (неустойчивая система) p₁= -₁; p₂=. В частном случае один из корней может быть равен нулю (при a₀=0, граница устойчивости системы).

Случай 1. Уравнение системы будет:

a₂y₁^//+a₀y₁=0.

Известно, что решение этого уравнения имеет вид:

y1(t)=Asin(t+)

(8-7)

Отсюда:

y2(t)=y1/(t)=Acos(t+)

(8-8)

где А и  - зависит от начальных условий.

Графики y₁(t) и y₂(t) показаны на рисунке 96.

Рис. 96

Для представления переходного процесса на фазовой плоскости исключим из уравнений (8-7), (8-8) время; возведя их в квадрат и сложив между собой, получим уравнение фазовой траек­тории в виде:

		(8-9)

Рис. 97

Выражение (8-8) представляет собой уравнение эллипса с полуосями А и А. Задаваясь различными значениями А на фазовой плоскости y₁, y₂, получим семейство фазовых траекторий, каждая из которых соответствует определенным на­чальным условиям. Фазовые траектории нигде не пересекаются и имеют общий центр в начале координат (рис. 97). Такое же уравнение эллипса можно получить и при непосредственном решении уравнения для фазовых траекторий (8-6) при a₁=0 и a₀/a₂=², A – произвольная постоянная интегрирования.

Направления движения изображающей точки М в каждой половине фазовой плоскости легко определяется по знаку y₂.

При положительной величине y₂(dy₁/dt>0) величина отклонения y₁ может только увеличиваться, а при отрицательном y₂ уменьшаться, следовательно движение изображающей точки на фазовой плоскости происходит по часовой стрелке.

Таким образом, незатухающим периодическим колебаниям в сис­теме соответствует на фазовой плоскости замкнутая фазовая траектория. Действительно, изображающая точка М, двигаясь по фазовой траектории, через время , равное периоду колеба­ний, вновь попадает в точку с исходными координатами y₁₀ и y₂₀. Начиная с момента времени t₀+ точка М будет вновь двигать­ся по той же самой траектории.

Так как вся фазовая плоскость заполнена бесчисленным мно­жеством замкнутых фазовых траекторий, то в системе возможно бесчисленное множество различных периодических режимов, период которых для одной и той же системы одинаков, а амплитуда колебаний зависит от начальных условий. Особая точка системы является геометрическим центром фазовых траекторий и носит назва­ние центр, а сама рассматриваемая система, в которой при любых начальных условиях возникают периодическое движение вокруг сос­тояния равновесия (за исключением того единственного случая, когда начальные условия как раз соответствуют состоянию равновесия), называется консервативной системой (т.е. системой без рассеивания энергии, без трения).

Случай 2. В этом случае (комплексные корни с отрицательной действительной частью) решение уравнения (8-5), как извест­но, имеет вид:

y1(t)=Ae-tsin(t+).

(8-10)

Отсюда:

(8-11)

Уравнения (8-10) и (8-11) дают в фазовой плоскости параметрическое уравнение спиралей (с параметром t). С каждым оборотом, соответствующим одному периоду колебаний, (см. рис. 98), изображающая точка приближается к началу координат, так как значения y₁ и y₂ за период колебаний становятся меньше, т.e, переходный процесс в системе имеет характер затухающих колебаний. Особая точка системы называется устойчивый фокус.

Рис. 98

Случай 3. Этот случай (комплексные корни о положительной вещественной частью) соответствует расходящимся колебаниям в систе­ме (рис. 99а), т.е, система является неустойчивой. Решение уравнения (8-5) дает:

y1(t)=Aetsin(t+).

(8-12)

отсюда

y2(t)=y1’(t)=Aetcos(t++)

(8-13)

Фазовый портрет системы для этого случая представлен на рисунке 99б

Рис. 132

Изображающая точка, двигаясь по фазовой траектории неограниченно удаляется от начала координат. Состоянию равновесия системы соответствует особая точка (0,0), которая называется неустойчивый-фокус. Если начальные условия соответствуют началу координат, то система будет находиться в состоянии равновесия до тех пор, пока на нее не действуют никакие возмущения. Однако, если в результате сколь угодно малого возмущения система вый­дет из состояния равновесия, то она будет в дальнейшем неограни­ченно удаляться от него по спирали фазовой траектории, т.е. в системе возникает колебательный процесс с возрастающей амплитудой.

Случай 4. Этот случай (вещественные отрицательные корни) соот­ветствует апериодическому процессу в системе. Особая точка (состояние равновесия) системы (0,0) носит название устой­чивый узел. Решение уравнения (8-5) дает:

(8-14)

отсюда

(8-15)

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

На рисунке 100 представлены возможные варианты переходного процесса в такой системе и соответствующие им фазовые траектории.

Рис. 100

Границей областей с переходными процессами типа 1 и 2 служат прямые с уравнениями y₂=-₁y₁ и y₂=-₂y₁, которые получа­ются из (8-14,15) при p₂=0 или p₁=0 (обращение одного из кор­ней характеристического уравнения в нуль). Все фазовые траекто­рии "вливаются" в начало координат (особую точку), однако время движения к состоянию равновесия теоретически равно бесконеч­ности.

Случай 5. В этом случае (вещественные положительные корни) в системе также будет апериодический процесс (рис. 101а). Уравнения для y₁ и y₂ аналогично предыдущему имеют вид:

	(8-16)
	(8-17)

Фазовый портрет системы представлен на рисунке 101б. Фазовые траектории направлены от начала координат в бесконечность, т.е. если в системе имеется отклонение от состояния равнове­сия, то с течением времени оно будет неограниченно возрастать.

Рис. 101

Особая точка на фазовой плоскости (состояние равновесия) носит название неустойчивый узел.

Случай 6. Характеристическое уравнение также имеет вещественные корни, однако эти корни имеют различные знаки. Переходный процесс в системе также имеет апериодический характер (рис. 102а ), однако фазовый портрет будет отличаться от предыдущего. Учитывая то, что в случае действительных корней разного знака коэффициент a₀<0, уравнение (8-6) можно записать в следующем виде (для простоты рассматривается случай, когда a₁=0):

Интегрируя это уравнение, получим:

Таким образом получено уравнение семейства равносторонних гипер­бол, отнесенное к главным осям. Асимптоте гипербол будут:

y₂=±y₁.

Каждая из асимптот состоит из трех фазовых траекторий (особая точка рассматривается как одна из фазовых траекторий). Фазовый портрет системы для рассматриваемого случая представлен на рисунке 102б.

Особая точка в данной системе носит название - седло, а асимптоты на фазовой плоскости называются сепаратрисами седла. По двум из них изображающая точка приближается к состоянию равновесия, по двум другим удаляется от него. На рисунке сепаратрисы проведены тонкими линиями. Двигаясь по любой из фазовых траекторий (кроме двух сепаратрис) изображающая точка по истечении достаточно большого времени удаляется от состояния равновесия на сколь угодно большое расстояние.

Рис. 135

Очевидно, что седло является неустойчивым состоянием равновесия, так как даже в том случае,когда начальные условия точно соот­ветствуют точке на сепаратрисе, сколь угодно малое возмущение приводит к тому, что изображающая точка, попав на соседнюю траек­торию, будет неограниченно удаляться по ней от состояния равно­весия.