Переход от декартовой системы координат к полярной. И обратно.
Декартовы координаты (х, у) точки М
и ее полярные координаты (r, φ) связаны формулами
Из этих формул вытекают пропорции вида
Но теперь уже х и у могут быть как положительными так и отрицательными, а угол с изменяется от — 180° до + 180° (или, при другой нормировке, от 0° до 360°).
При любом положении точки М можно построить прямоугольный треугольник с гипотенузой с = r и катетами | х |, | у | так, чтобы наименьший его угол имел вершину в начале координат:
Если обозначить этот угол буквой α (0 < α < 45°), меньшее из чисел | х |, | у | через а, а большее— через b, то мы приведем нашу задачу к задаче, рассмотренной в прошлом разделе. При этом для каждой из восьми областей, занумерованных на рисунке,
зависимость между углами φ и α, а также между парами чисел (а, b) и (х, у) устанавливается следующей таблицей:
Если даны полярные координаты φ и r, то по таблице находим угол α (0° < α < 45°), затем по углу α и гипотенузе с r вычисляем на счетной линейке катеты а и b и, наконец, по той же таблице находим х и у. Если даны декартовы координаты х иу, то указанная процедура производится в обратном порядке.
Вычисления с комплексными числами. Переход от алгебраической формы комплексного числа: z = х + iy
к тригонометрической форме
есть переход от декартовых координат (х, у) к полярным координатам (r, φ).
Переход от одной формы комплексного числа к другой необходим при вычислениях с комплексными числами, так как сложение и вычитание удобнее выполнять в алгебраической форме
(z = z1 + z2 означает x = x1 + x2, у = у1 + у2), а умножение и деление — в тригонометрической
(z = z1z2 означает r = r1r2, φ = φ1 + φ2)
Преобразование координат для прямоугольной системы координат.
Получим формулы, связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат. Рассмотрим три типа преобразований:
а) параллельный перенос;
б) поворот системы координат;
в) зеркальное отражение в оси абсцисс (изменение направления оси ординат на противоположное).
Произвольный
единичный (нормальный) вектор 
может
быть записан следующим образом:
.
Единичный
ортогональный (перпендикулярный)
к
вектор,
который мы обозначим через 
,
может соответствовать только либо
углу 
,
либо 
.
Так как
, 
,
, 
,
то
всевозможные ортонормированные
системы
,
в 
определяются
либо равенствами (рис. 35)
,
(1')
соответствующими
вращению осей около начала на угол 
и
сохранению ориентации, либо равенствами
(рис. 36)
(1'')
соответствующими вращению осей около начала на угол и изменению ориентации.
Оба преобразования объединяются в следующей формуле:
(1)
Рис. 35 Рис.36
где матрица преобразования
(2)
ортогональна (сумма квадратов элементов каждой из ее строк или столбцов равна 1, а скалярное произведение двух разных строк или столбцов равно 0).
Любое определенное ортогональное преобразование (1) есть на самом деле одно из преобразований (1'), (1") при некотором .
Из (1) в силу ортогональности матрицы (2) следует, что
(3)
и мы получили преобразование, обратное преобразованию (1), с матрицей
,
сопряженной
к 
.
Зададим
в плоскости произвольный вектор
(точку) 
.
Пусть он имеет в старой и новой системе
координаты 
и 
.
Тогда
.
(4)
В силу формул (3) и (4)
.
Поэтому, приравнивая компоненты при одинаковых ортах , , получим
(5)
В силу же формул (1) и (4)
,
откуда,
приравнивая компоненты при 
и 
,
получим формулы, обратные к (5):
(6)
Если
наряду с преобразованием (6) перенести
еще начало осей 
, 
в
точку 
,
имеющую координаты 
, 
,
то формулы (6) усложнятся, очевидно,
следующим образом:
(7)
Итак,
произвольное преобразование прямоугольных
координат 
в
прямоугольные координаты 
в
точку
выражается
формулами (7), где матрица
ортогональная.
Соответствующее преобразование, сохраняющее ориентацию системы координат, имеет вид
(7')
и преобразование, меняющее ориентацию, имеет вид
(7'')
(матрицы коэффициентов при и в (7') и (7") соответственно транспонируют (1') и (1"))