23. Действия с геометрическими векторами в координатной форме.

признак коллинеарности векторов.

1) при сложении векторов их координаты складываются, т.е если а=а1+а2, то Х=х1+х2, У=у1+у2, z=z1+z2

2) аналогичное правило для вычитания векторов

3) При умножении вектора на число все координаты умножаются на то же число

4) такое же правило и для деления вектора на число.

А так же:

Каждый вектор равен сумме его геометрических проекций по трем осям координат.

Каждый вектор м равен сумме произведений трех основных векторов на соответсвующие координаты вектора м

24. Признак коллинеарности векторов.

Признак Коллинеарности векторов. Коллинеарные векторы. Если векторы а1, а2 коллинеарные, то их соответствующие координаты пропорциональны: Х2:Х1=У2:У1=Z2:Z1. Если коэффициент пропорциональности положителен, то векторы а1 и а2- равнонаправленные. Если отрицателен- противоположено направлены. Абсолютное значение лямбда выражает отношение длин |а2|:|а1|

25. Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и bназывается число , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

а *b= |a|*|b|*cosa. формуле можно придать иной вид, так как|а|*cosa= проекция а на b, а |b|*cosa= проекция b на а. получаем:

а*b=|а|* проекция b на а= |b|* проекция а на b, т.е скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них , умноженному на проекцию другого на ось, со направленную с первым вектором .

Свойства скалярного произведения:

Переместительное свойство а*b=b*a

Сочетательное свойство (лямбда*а)*b= лямбда(а*b)

Распределительное совйство а(b+c)=ab+ac

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длинны а²= |а|²

i²=j²=k²=1

Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0. Справедливо и обратное утверждение что если произведение векторов а*b=0 и а не равен 0 и b не равен 0, то они перпендикулярны. Так же i*j=j*k=k*i=0

Признак ортогональности векторов.

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т.е. .90 градусов

26. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Длина вектора. Угол между векторами.

Выражение векторного произведения через координаты. Находим по формуле :

Длина вектора

Расстояние между двумя точками

Вычисление косинуса угла между двумя точками

26,Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Длина вектора. Угол между векторами.

Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хоть один из векторов нулевой, то скалярное произведение по определению считают равным нулю. , –угол между векторами a и b.

1. Скалярное произведение произвольного вектора а на себя же всегда неотрицательно, и равно квадрату длины этого вектора. Причем скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда данный вектор - нулевой.

2. Скалярное произведение любых перпендикулярных векторов a и b равно нулю.

3. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перепендикулярны или хотя бы один из них - нулевой.

4. Скалярное произведение двух векторов a и b положительно тогда и только тогда, когда между ними острый угол.

5. Скалярное произведение двух векторов a и b отрицательно тогда и только тогда, когда между ними тупой угол.

Свойства скалярного произведения:

1.  (a,b)=(b,a)- симметричность.

2. – скалярный квадрат.

3. Если , то 

4. Если   и   и (a,b)=0, то  . Верно и обратное утверждение.

5. 

6. 

7. 

Если векторы   и   заданы своими координатами:  ,   , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = {ax ; ay ; az} можно найти воспользовавшись следующей формулой

Формула длины n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства модуль вектора a = {a1 ; a2; ... ; an} можно найти воспользовавшись следующей формулой

|a| = (	n	ai2)1/2
	Σ
	i=1

 Угол между векторами 

1. Если угол между векторами острый (от 0 до 90^о), то косинус угла будет иметь положительное значение.

2. Если угол между векторами тупой (от 90^о до 180^о), то косинус угла будет иметь отрицательное  значение.

*При нуле градусов, то есть когда векторы имеют одинаковое направление, косинус равен единице и соответственно результат скалярного произведения векторов  будет положительным.

При  180^о, то есть когда векторы имеют противоположные направления, косинус равен минус единице,  и соответственно результат скалярного произведения векторов  будет отрицательным.

При  90^о, то есть когда векторы перпендикулярны друг другу, косинус равен нулю, а значит и скалярное произведение равно нулю.