2.5. Золотое сечение

Платон дал формулировку Золотого сечения, сущность которой заключается в том, что для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая скрепила бы их в единое целое; при этом одна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части. Золотая пропорция (Золотое сечение) является главным эстетическим принципом. Художники и зодчие эпохи Возрождения изучали и использовали пропорции Золотого сечения при создании выдающихся произведений скульптуры, живописи и архитектуры. Обнаружить это соотношение можно не только в творениях рук человеческих, но и в природе – в пропорциях человеческого тела, формах роста растений, животных и насекомых.

Платон (428 до н.э. – 348 до н.э.). Древнегреческий философ. Важнейшим его учением является учение о триаде: «едином», «уме» и «душе»; к нему примыкает учение о «космосе»; к которому, в свою очередь, примыкает учение о космических пропорциях (БСЭ. Т. 20).

Золотое сечение встречается в «Началах» Евклида.

Евклид. Древнегреческий математик. В книге VI «Начал Евклида» изложена общая теория отношений, являющаяся основой учения о подобии (БСЭ. Т. 17).

Во второй половине XIX столетия немецкий психолог Густав Фехнер, заинтересовавшись эстетикой Золотого сечения, исследовал реакцию людей на особые эстетические свойства Золотого прямоугольника. Любопытство ученого было вызвано тем, что предпочтение таким пропорциям отдавали представители разных культур и эпох. Фехнер ограничил свой эксперимент рукотворным миром и начал с измерения тысяч прямоугольных объектов – книг, коробок, зданий, спичечных коробков, газет и так далее. Он обнаружил, что в среднем пропорции прямоугольника близки к пропорции, которая известна как Золотая (рис. 18). Эксперименты Фехнера позднее, в 1908 г., на более высоком научном уровне, повторил Лало, а вслед за ним и другие исследователи.

«Золотая пропорция не связана непосредственно с образами (формами) живой природы, всегда по своей сущности двойственными, основанными на дихотомии. Золотое сечение не предназначено быть символом образных ассоциаций и уместно и незаменимо там, где архитектура трактуется как нейтральный фон, которому нужно придать прозрачность, светлость, невесомость» (Шевелев, 2005).

Золотое сечение неотделимо от ценности объектов искусства и является признаком структурного единства объектов природы. Золотое сечение имеет место в скульптуре, архитектуре, музыке, астрономии, биологии, психологии, технике. Оно встречается при описании строения растений, пропорций тел животных, человека, птиц, в статистике популяций, в строении космоса и т.д.

В эпоху Ренессанса пропорцию Ф называли Божественной, а Леонардо да Винчи назвал ее Золотой. Еще в 1202 г. итальянским фермером и математиком Фибоначчи было обнаружено фундаментальное свойство Золотого сечения – единство аддитивности и мультипликативности. «Божественная пропорция – бесценное сокровище, одно из двух сокровищ геометрии» (Иоганн Кеплер).

Леонардо да Винчи (1452 – 1519). Итальянский живописец, скульптор, архитектор, ученый и инженер. Создал гармоничный образ человека. Заложил основы искусства Высокого Возрождения. Обогатил проницательными наблюдениями почти все области науки того времени. Был наиболее ярким представителем нового, основанного на эксперименте, естествознания. Впервые рассматривал ботанику как самостоятельную биологическую дисциплину, дал описание листорасположения, гелиотропизма и геотропизма, корневого давления и движения соков растений (БСЭ. Т. 14).

Рис. 18. Сравнительный график пропорциональных предпочтений – прямоугольник.

Кривая предпочитаемых прямоугольников Фехнера (1876) - ● ● ● ●

Кривая предпочитаемых прямоугольников Лало (1908) ■ ■ ■ ■

Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (ок. 1170 – после 1228). Итальянский математик. Основные работы «Liber Abaci» (1202) – трактат об арифметике (числа Фибоначчи) и алгебре «Practica Geometrica» (1202), которые являются первыми произведениями, содержащими задачи на приложение алгебры к геометрии (БСЭ. Т. 14).

Историческая проблема пропорций архитектуры, теория пропорций в искусстве и законы формообразования в живой природе математически строго соединены. Искусство, как и природа, скрыто управляется геометрическим подобием. Гармония может быть расшифрована лишь на ее собственном языке, отображенном фундаментальными принципами естествознания (Шевелев, 2005).

Золотое сечение является основным соотношением величин как в неживой, так и в живой природе, основой структурирования материи на всех уровнях ее организации (Шевелев, 1970, 2000, 2005).

Основой Золотого сечения является Божественная пропорция. Она получается путем деления линии на два отрезка таким образом, чтобы отношение всей линии АС к более длинному отрезку АВ равнялось отношению более длинного отрезка АВ к более короткому ВС. Оно равняется сокращенно 1,61803, что можно выразить в виде дроби (1+ )/2 (рис. 19).

Золотое сечение Ф имеет вид равенства отношений отрезков Божественной пропорции:

AB/BC = AC/AB

Если принять АВ = а, а ВC = a/Ф (где Ф = АВ/ВC), то получится отношение:

Ф = 1+1/Ф.

Следовательно, Ф удовлетворяет квадратному уравнению:

Ф ²– Ф – 1 = 0

Ф = ( / 2 = 1,61803

Возможны многочисленные преобразования уравнений с использованием Золотого сечения, имеющие ограниченное применение:

1/Ф = ( / 2 = 0,61803

Ф ² = ( / 2 = 2,61803

1/Ф + 1/Ф ² = 1

Ф + 1/Ф ² = 2

Ф ² + 1/Ф ² = 3

Ф ² + Ф ⁰ + 1/Ф ² = 4

Ф ³ + 1/ Ф + 1/Ф ⁴ = 5

Об уникальных свойствах Золотого сечения свидетельствует и абсолютное совпадение знаков после запятой до бесконечности в следующих значениях десятичных дробей:

Ф₁ = 1/Ф₂ = 1,61803398875…

Ф₂ = 1/Ф₁ = 0,61803398875…

Ф₁ ² = 2,61803398875…

Тождественность десятичных знаков бесконечных дробей Ф, 1/Ф, Ф ² является результатом первичного уравнения Ф ² = Ф + 1 и его варианта (являющегося результатом деления всех его членов на Ф): Ф – 1 = 1/Ф. Это уравнение может быть выражено следующим образом:

Ф (Ф – 1) = 1

Ф ² – Ф = 1

Ф = 1+1/Ф

1/Ф ² = 1 – 1/Ф.

Нижеследующие уравнения достигаются путем бесконечного умножения всех членов первичного уравнения на основание Ф:

Ф ³ = Ф ² + Ф

Ф ⁴ = Ф ³ + Ф ²

Ф ⁵ = Ф ⁴ + Ф ³

……………….

Ф ⁿ = Ф ^n-1 + Ф ^n-2

Ряд 1, Ф, Ф ², Ф ³, Ф ⁿ (и всякий ряд а, аФ, аФ ², аФ ³…, имеющий Ф как геометрическое основание) является одновременно мультипликативным и аддитивным, то есть одновременно причастным природе геометрической прогрессии и арифметического ряда:

Ф = , это выражение в бесконечности стремится к Ф = 1,61803. Нисходящий ряд Ф: 1, 1/Ф, 1/Ф²,1/Ф ³, … 1/ Ф ⁿ.

Золотое сечение объединяет аддитивность

(1 = – 0,61803 + 1,61803) и мультипликативность

(1 = 0,61803 × 1,61803).

Аддитивный ряд – ряд, получаемый путем сложения. В методологическом плане принцип аддитивности предполагает возможность исчерпывающего объяснения свойств целого из свойств частей (или наоборот, свойств частей из свойств целого) (Философский словарь, 1987). Аддитивность составляющих величин на языке математики выражает принцип причинности.

Понятие аддитивности означает, что целое структурно, а понятие мультипликативности – на все части структурно организованного целого распространяется одна и та же закономерность роста. Золотое сечение – наиболее гармоничная пропорция, благодаря которой устанавливается идеальное соотношение отдельных частей формы с целым. В едином организме все части растут по одному закону геометрической прогрессии, что предопределено генетикой и является основой живой природы. Но это идеальный вариант – он вне связи с окружением (факторами), оказывающими влияние на отклонение фактического развития роста от идеального.

Ф есть предел, к которому стремится отношение смежных чисел; за начало такого ряда можно принять любые два числа, например 0 и 1, 1 и 3, 1 и 4, и т.д.:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…

1, 3, 4, 7, 11, 18, 20, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364 …

1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157, 254, 411, 665. 1076, 1741 …

Золотое сечение – это образ соразмерности, целостности, единства разнообразия, динамичного равновесия и роста, упорядоченного множества, образ подобия строению многим природным организмам. Явное (открытое) Золотое сечение неизменно вызывает чувство полной гармонии и красоты статичных объектов (Божко, 1991), что имеет важное значение в ландшафтоведении. Золотое сечение, как отмечалось выше, является основой организации материи на всех уровнях, основной пропорцией (соотношением величин) как в неживой, так и в живой природе. Тем не менее Золотое сечение не довлеет над другими пропорциями, а присутствует вместе с ними (Шевелев, 1970, 2000, 2005).

Золотое сечение (число) представляет собой в природе фундаментальную константу формообразования, но константу не явную, а глубоко скрытую от поверхностных наблюдений. Неявное (скрытое) Золотое сечение обеспечивает гармонию объектов в динамике (гармонию роста биологических объектов). В ряду Золотого сечения Ф закодирована генетика. В числе (логарифмическая спираль) закодированы элементарные основополагающие формы живой природы (Шевелев, 1986).

Золотая пропорция с числом «π» находится в отношении = 4/π = = 4/3,14 = 1,272. Специалистами установлены соотношения Золотой пропорции и с другими математическими характеристиками пространственного изображения (основания натурального логарифма «е», «вавилонского построения», кривой нормального распределения Лапласа-Гаусса).

Золотое сечение положено в основу распределения Лапласа-Гаусса – основного распределения случайных величин, преобладающих в природе. Площадь, заключенная под кривой (рис. 20), представляет собой интеграл, который выражает вероятность того, что отклонение от среднего значения случайной величины будет содержаться внутри определенных пределов. В пределах от – до + вероятность равна 68,3% (заключено 68,3% общего числа наблюдений, измерений), в пределах от – 2 до + 2 – 95,4% и в пределах от – 3 до + 3 – 99,7%.

Теория вероятности – наука о массовых случайных событиях, эквивалентных друг другу в отношении каких-то определенных свойств или способных многократно повторяться при воспроизведении соответствующих условий.

В распределении Лапласа-Гаусса отношение значения срединной ординаты к величине ординат, востановленных в точках – ϭ и + ϭ к точкам перегиба кривой распределения, является Золотым сечением 1,61803. Таким образом беспредельный мир вероятностно-стохастических величин связан с фундаментальными свойствами и законами, лежащими в основе Золотой спирали – основного закона роста.

Рис. 20. Кривая нормального распределения Лапласа-Гаусса