2. Элементы кинематики материальной точки. Скорость и ускорение точки, как производные радиуса вектора по времени.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причин, вызывающих это движение.

Простым движущимся телом является материальная точка. Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения. Например, годичное движение Земли вокруг солнца можно представить, как движение материальной точки, а суточное движение Земли вокруг своей оси - уже нельзя.

Всякое твёрдое тело можно рассматривать как систему жёстко связанных тел друг с другом материальных точек.

Линия, описываемая движущейся материальной точкой, называется траекторией. Движения разделяются по виду траекторий на прямолинейные и криволинейные. По своему характеру движение может быть равномерным и переменным.

Элементами системы отсчета, необходимыми для описания движений, являются: тело отсчета, система координат, секундомер.

Кинематические уравнения движения

Положение точки M относительно системы отсчета можно задать с помощью трех ее декартовых координат x,y,z представляющими собой расстояния от этой точки до координатных плоскостей yz, zx, xy соответственно.

Три координаты x,y,z можно объединить в один направленный отрезок или радиус-вектор r, проведенный из начала координат в рассматриваемую точку. Координаты x,y,z являются его проекциями на координатные оси, а потому

 (1.1)

Мгновенная скорость — векторная физическая величина, равная первой производной от радиус-вектора по времени:

Характеризует быстроту перемещения материальной точки.

Мгновенное ускорение — векторная физическая величина, равная второй производной от радиус-вектора по времени и, соответственно, первой производной от мгновенной скорости по времени:

Характеризует быстроту изменения скорости.

3) Нормальное и тангенциальное ускорения. Радиус кривизны траектории.

Нормальное и тангенциальное ускорение.

Рассмотрим движение материальной точки (рис. 14).

В момент времени t₀ ее скорость –  ₀, в момент времени t скорость   >  ₀. Траектория – кривая линия.

Рис. 14

За интервал времени  t = t – t₀ скорость изменяется и по направлению, и по модулю (числовому значению).

Построим вектор изменения скорости (рис. 15):

.

Рис. 15

Разложим вектор   на два вектора   и  .

Для этого по линии вектора отложим отрезок |AC|, длина которого равна | ₀|:

.

Соединим точки В и С. Построим вектор  . Вектор  . Из рис. 16 видно, что   – результирующий вектор:

. (10)

Вектор   характеризует изменение скорости за интервал времени  t по направлению.

Вектор   характеризует изменение скорости за интервал времени  t по модулю (числовому значению).

Разделим две части уравнения (10) на  t   0:

.

При  t   0 имеем:

. (11)

По определению (формула (7)):

(полное ускорение).

Физическая величина, характеризующая изменение скорости по направлению, – нормальное ускорение.

.

Физическая величина, характеризующая изменение скорости по модулю, – тангенциальное ускорение.

.

Тогда из уравнения (11) следует, что вектор полного ускорения равен векторной сумме тангенциального и нормального ускорений:

. (12)

Мы знаем, что направления векторов ускорения и изменения скорости всегда совпадают:   . На рис. 16 вектор   совпадает с   . Разложим вектор ускорения   на две взаимно перпендикулярные компоненты – тангенциальную  _t, совпадающую с вектором скорости  , и перпендикулярную  _n к вектору  . Модуль полного ускорения равен:

. (13)

Рис. 16

Радиус кривизны траектории.

Основная идея кинематического метода нахождения радиуса кривизны заключается в том, чтобы геометрическую кривую представить как траекторию какого-либо достаточно простого механического движения и исследовать это движение методами кинематики и динамики.

 

Приближение участков криволинейной  траектории дугами окружностей



Небольшой участок любой криволинейной траектории всегда можно представить как часть некоторой окружности. Радиус этой аппроксимированной окружности и называется радиусом кривизны траектории в данном месте. Поэтому выражение для нормальной составляющей ускорения a_n=v²/R   можно использовать для определения радиуса кривизны траектории R.Величину 1/R называют кривизной траектории в рассматриваемой точке.

Таким образом, радиус кривизны траектории в данной точке – это радиус такой окружности, с элементарной дугой которой совпадает участок криволинейной траектории в малой окрестности той точки, где находится движущаяся материальная точка.