Свойства определителя n-го порядка.

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы А состоит из одних нулей, то det A=0.

2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы её детерминант меняет знак на противоположный.

3. Если матрица А содержит 2 одинаковые строки (столбца), то det A=0.

4. Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак детерминанта.

5. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы А пропорциональны, то det A = 0.

6. Линейность детерминанта. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) детерминанта представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот детерминант равен сумме двух детерминантов, в каждом из которых:

1. все строки (столбцы), за исключением указанной строки (столбца), совпадают с аналогичными строками (столбцами) детерминанта ;

2. на месте указанной строки (столбца) 1-ый детерминант содержит первые слагаемые, а 2-ой детерминант – второе слагаемое данной строки (столбца) детерминанта .

или

7. Детерминант матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

8. det A = det A .

9. Детерминанты треугольных и диагональной матриц равны произведению элементов главной диагонали.

Теорема Лапласа и использование свойств детерминанта лежат в основе так называемого метода накопления нулей вычисления детерминанта.

Пример. Вычислить определитель

Решение:

3. Операции над матрицами.

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой

Пример.

Матрица называется скалярной матрицей.

Определение Суммой двух матриц A и В одинакового размера mn называется матрица , элементы которой .

Пример.

Разность двух матриц одинакового размера mxn определяется через предыдущие операции: A – B = A + (-1)B.

Пример.

Свойства операций сложения матриц и произведения матрицы на число.

Пусть A,B и С - матрицы, имеющие одинаковые размеры, Тогда

1. A + B = B + A;

2. (A + B) + C = A + (B + C);

3. 

4. 

5. 

6. 

7. det , A-матрица размера .

Свойства операции транспонирования матриц.

1. 

2. 

3. 

Умножение матриц.

Умножение матрицы A на матрицу B определено, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B (условие сцепления). В этом случае матрица A называется согласованной с матрицей B.

Определение Произведением матриц A размера и B размера называется матрица С, элементы которой равны скалярным произведениям векторов-строк матрицы A на векторы-столбцы матрицы B:

С = AB = Матрица С имеет размер

Пример. A = B = .

A

Свойства произведения матриц.

1) Произведение вектора-строки , на матрицу eсть вектор-строка , где

Пример.

2) Произведение матрицы на вектор-столбец есть вектор-столбец где

Пример.

3) Произведение вектора-столбца на вектор-строку есть матрица

Пример.

4) Произведение вектора-строки на вектор-столбец есть число (или матрица размера 1 1)

Пример.

5) Свойства произведения матриц. Пусть - матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены). Тогда:

1. (AB)C = A(BC);

2. (A+B)C = AC+BC;

3. A(B+C) = AB+AC

4. 

5. AI = A;

6. IA=A;

7. 

8. 

6) Произведение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. .

Для квадратных матриц А и В одного порядка матрица [A,B]=AB - BA называется коммутатором матриц А и В.

7) Существуют делители нулевой матрицы, т.е. из и и из и .

8) В общем случае из того, что AB = AC и A

9) Транспонирование произведения. Пусть Тогда

- условие сцепления выполняется только для

10) Определитель произведения квадратных матриц одного порядка detAB=detA detB.

Возведение матриц в натуральную степень.

Определение Натуральной степенью Aⁿ, n , квадратной матрицы А называется произведение n матриц, равных А, т.е Aⁿ .

Свойства операции возведения в натуральную степень.

1. 

2. 

Матрица называется нильпотентной, если для некоторого Наименьшее из чисел m, для которых имеет место это равенство, называется индексом нильпотентности.

Матрица А называется идемпотентной, если

Матрица А называется инволютивной, если A .

Многочлены от матриц.

Пусть даны квадратная матрица и многочлен f(x) = .

Значением многочлена f(x) при x=A или многочленом f(A) совпадает с порядком матрицы А.

Если то многочлен f(x) называется аннулирующим многочленом матрицы А, а сама матрица А- корнем многочлена f(x).

Пример.

Матрица A является корнем f(x), а f(x) является аннулирующим многочленом для матрицы А.