Вычисление определителя методом Гаусса.
Прямым ходом метода Гаусса определитель приводится к диагональному виду с той же лишь разницей, что на каждом шаге определитель делится на разрешающий элемент с показателем степени, равным количеству преобразуемых строк; при перестановке строк определитель меняет знак на противоположный; общий множитель строки (столбца) выносится за знак определителя.
Пример.
Вычислить определитель:
.
Решение.
=
(т.к.
определитель треугольной матрицы равен
произведению элементов главной
диагонали).
Схема метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцам матрицы.
Перед
исключением x1
отыскивается
.
Этот элемент называется главным
элементом.
Допустим, максимум соответствует
i=i0.Тогда
1-ое уравнение в исходной системе линейных
уравнений меняем местами с i0–ым
уравнением. После этого осуществляется
1-ый шаг исключения. Затем перед исключением
x2
из оставшихся
уравнений отыскивается
,
осуществляется сответствующую
перестановка уравнений и т.д.
Схема метода Гаусса с выбором главного элемента по строкам матрицы.
Перед
исключением x1
отыскивается
.
Пусть максимум достигается при j=j0.
Тогда поменяем взаимно номера у
неизвестных x1
и xj0
(максимальный
по величине из коэффициентов 1-го
уравнения окажется в позиции a11)
и приступим к процедуре исключения x1
и т.д.
Схема метода Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице.
На
1-ом шаге среди элементов aij
определяют максимальный по модулю
элемент
.
1-ое уравнение системы и уравнение с
номером i1
меняют
местами и меняются взаимно номера у
неизвестных x1
и
(элемент
окажется
в позиции a11).
Далее стандартным образом производят
исключение неизвестного
из всех уравнений, кроме первого.
На
k-ом
шаге среди коэффициентов
при неизвестных в уравнениях системы
с номерами
выбирают максимальный по модулю
коэффициент
.
Затем k-ое
уравнение и уравнение, содержащее
найденный коэффициент, меняют местами
и меняются взаимно номера у неизвестных
xk
и
(элемент
окажется в позиции
).
Исключается неизвестное
из уравнений с номерами
.
На этапе обратного хода неизвестные
вычисляют в следующем порядке:
.
Наиболее надёжным является метод исключения с выбором главного элемента по всей матрице коэффициентов на каждом шаге исключения. Рассмотренные модификации метода Гаусса позволяют, как правило, существенно уменьшить неблагоприятное влияние погрешностей округления на результаты расчёта.
Примеры.
Систему линейных уравнений, решённую нами методом Гаусса, решим с помощью его модификаций.
Решение.
Схема с выбором главного элемента по столбцам.
Схема с выбором главного элемента по строкам.
Схема с выбором главного элемента по всей матрице.
~
Метод полного исключения.
Данный метод используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц, разложения вектора по базису.
Алгоритм метода полного исключения
1-ый шаг (соответствует исключению неизвестной x1) выполняется с разрешающим элементом a110 по правилам прямого хода метода Гаусса.
Общий шаг (соответствует последовательному исключению неизвестных x2, x3, ... ) выполняется по следующим правилам:
назначается разрешающий элемент - им будет коэффициент при исключаемой неизвестной;
элементы разрешающей строки остаются неизменными;
все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) заменяются нулями и остаются таковыми до конца преобразований;
все прочие элементы пересчитываются по правилу прямоугольника.
Контроль вычислений осуществляется по суммарному столбцу.
Решим ту же самую СЛУ методом полного исключения.
Вычисление обратной матрицы методом полного исключения.
Дана
матрица
,
det
A
0.
Составляем расширенную матрицу, приписав справа к исходной матрице единичную матрицу, отделив её от исходной вертикальной чертой:
.
Эта матрица подвергается преобразованиям по алгоритму полного исключения и слева от вертикальной черты получается единичная, а справа - обратная матрица А-1. При расчёте желательно вести контроль вычислений.
Пример.
Для матрицы А =
найти А-1,
пользуясь методом полного исключения.
Решение.
А-1=
=