Сформулируйте предпосылки мнк. Каковы последствия их выполнимости или невыполнимости.
Исследования остатков еi предполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК:
Случайный характер остатков (график зависимости отклонений от номера измерения должен иметь большое количество поворотных точек);
Нулевая средняя величина остатков, не зависящая от хi (мат.ожидание=0);
Гомоскедастичность – равенство дисперсий всех отклонений (если это условие не выполняется, то имеет место гетероскедастичность);
Отсутствие автокорреляции остатков;
Остатки подчиняются нормальному распределению. ( |еi / S|<=2 )
В случае, когда все пять предпосылок выполняются, оценки, полученные по МНК и методу максимального правдоподобия, совпадают между собой. Если распределение случайных остатков еi не соответствуют некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.
При несоблюдении основных предпосылок МНК приходится корректировать модель, изменяя ее спецификацию, добавлять (исключать) некоторые факторы, преобразовывать исходные данные для того, чтобы получить оценки коэффициентов регрессии, которые обладают свойством несмещённости, имеют меньшее значение дисперсии остатков и обеспечивают в связи с этим более эффективную статистическую проверку значимости параметров регрессии.
Как определяются стандартные ошибки регрессии и коэффициентов регрессии?
Y = b0+b1x, где
b1 – коэф. Регрессии, показывающий, на сколько изменился Y, при изменении х на единицу;
b0 – свободный член, показывающий значение Y при х=0 (но не всегда).
Выполнение предпосылок МНК приводит к тому, что оценки b0 и b1 эффективны в классе линейных несмещённых оценок.
- стандартная ошибка регрессии (парной)( множественной n-m-1 в знаменателе).
- стандартная ошибка коэф. Регрессии b1.
– стандартная
ошибка коэф.регрессии b0
Проверять гипотезу о значимости коэффициента регрессии, означает проверить, что он не равен нулю и целесообразно включить его в модель.
Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии:
Для b0: (b0 – t * Sb0 < b0 < b0 + t * Sb0)
Для b1: (b1 – t * Sb1 < b1 < b1 + t * Sb1)
Доверительный интервал – интервал, который показывает в каких пределах могут изменяться коэффициенты регрессии.
19. Интервальные оценки коэффициентов регрессии
Базовыми предпосылками МНК является предположение о нормальном распределении отклонений εi с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией.
Это позволяет получать не только наилучшие линейные несмещенные точечные оценки коэффициентов b0 и b1 линейного уравнения регрессии, но и находить их интервальные оценки, что дает определенные гарантии точности. Доверительные интервалы для коэффициентов имеют вид:
Для b0: (b0 – t * Sb0 < b0 < b0 + t * Sb0)
Для b1: (b1 – t * Sb1 < b1 < b1 + t * Sb1)
Доверительный интервал – интервал, который показывает в каких пределах могут изменяться коэффициенты регрессии.
Фактически доверительный интервал определяет значения теоретических коэффициентов регрессии β0 и β1, которые будут приемлемыми с надежностью 1− α при найденных оценках b0 и b1.