2. Экстремумы: определение, необходимое условие, достаточные условия.

Экстре́мумы — максимальные или минимальные значения функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .

Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка называется точкой строгого локального максимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .

Точка называется точкой строгого локального минимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

необходимое условие

Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю , либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует. Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум

достаточные условия

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки ;

2. или не существует;

3. производная при переходе через точку меняет свой знак.

Тогда в точке функция имеет экстремум,

причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс;

максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:

1. найти производную ;

2. найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки ;

2. первая производная в точке ;

3. в точке .

Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.

Билет 4