2. Нахождение производной функции, заданной параметрически (с обоснованием).

Вывод формулы производной параметрически заданной функции.

Пусть , определены и дифференцируемы при , причем и имеет обратную функцию .

Сначала переходим от параметрического задания к явному. При этом получаем сложную функцию , аргументом которой является x. По правилу нахождения производной сложной функции имеем: . Так как и обратные функции, то по формуле производной обратной функции , поэтому

Нахождение производной функции, заданной неявно (на примере).

Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то функция называется неявной функцией переменной .

Несмотря на то, что уравнение не разрешимо относительно , оказывается возможным найти производную от по . Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства по аргументу x, считая y – функцией от x, и после этого выразить .

Дифференцирование выражений, содержащих x и y(x), проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции.

Пример.

Найти производную неявной функции .

Решение.

Производная неявно заданной функции всегда представляется в виде выражения, содержащего x и y: . Чтобы прийти к такому результату, продифференцируем обе части равенства:

Разрешим полученное уравнение относительно производной:

Билет 8

1. Смешанное произведение векторов.

Сме́шанное произведе́ние векторов —скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и : .

Его геометрический смысл.

Если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен:

Вычисление смешанного произведения через координаты векторов (вывод).

 Пусть заданы вектора: а = а_хi + а_yj + а_zk , b = b_хi + b_yj + b_zk и с = с_хi + с_yj + с_zk

Найдем их смешанное произведение, используя выражение в координатах для векторного и скалярного произведений:

.

 Итак, .

 Следовательно, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

2. Производная сложной функции, производная обратной функции (с доказательствами).

Формула нахождения производной сложной функции.

Производная сложной функции

Пусть функция f: [a, b] → [c, d], а функция g:[a₁, b₁] → [c₁, d₁], причём [a₁, b₁] [c, d]. Если функция f дифференцируема в точке х₀ [a, b], а функция g дифференцируема в точке y₀ = f (x₀) [a₁,b₁], то сложная функция F(x) = g( f ( x )) имеет в точке х₀ производную, равную

g ' ( f ( x₀ ) )·f ' ( x₀ ).

Доказательство. Так как функция g(y) дифференцируема в точке у₀, то имеем

Δ g (y) = g ' (y₀)·Δy + δ(Δy)·Δy,

где δ(Δ х) → 0 при Δ х → 0. Так как функция f (x)дифференцируема в точке х₀, то имеем

Δ y = f ' ( x₀ )·Δx + ε (Δx)·Δx,

где ε(Δх) → 0 при Δ х → 0. Поставляя второе соотношение в первое, получим

Разделив обе части последнего соотношения на Δх, получим

.

Переходя к пределу при Δх → 0 в левой и правой части последнего равенства с учётом непрерывности рассматриваемых функций, получим g ' ( f ( x ) )|_x0 = g ' (y₀)·f ' (x₀).

Что и требовалось доказать.

производная обратной функции

Рассмотрим функцию f(x), которая является строго монотонной на некотором интервале (a, b). Если в этом интервале существует точка x₀, такая, что f '(x₀) ≠ 0, то функция x = φ(y), обратная к функции y = f(x), также дифференцируема в точке y₀ = f(x₀) и ее производная равна: .

Докажем приведенную теорему о производной обратной функции.

Пусть переменная y получает в точке y₀ приращение Δy ≠ 0. Соответствующее ему приращение переменной x в точке x₀ обозначим как Δx, причем Δx ≠ 0 в силу строгой монотонности функции y = f(x). Запишем отношение приращений в виде: .

Допустим, что Δy → 0. Тогда Δx → 0, поскольку обратная функция x = φ(y) является непрерывной в точке y₀. В пределе, при Δx → 0, правая часть записанного соотношения становится равной

.

В таком случае левая часть также стремится к пределу, который по определению равен производной обратной функции: .

Таким образом, , то есть производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции.

Формула нахождения производной сложной функции.

Билет 9

Вывод общего уравнения прямой на плоскости.

Теорема.

Всякое уравнение первой степени вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида при некотором наборе значений A, B и C.

Доказательство.

Как видите, теорема состоит из двух частей. Докажем сначала, что уравнение вида задает прямую на плоскости.

Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению , то есть, . Вычтем из левой и правой частей уравнения соответственно левую и правую части равенства , при этом получаем уравнение вида , которое эквивалентно .

Уравнение представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов и . То есть, множество всех точек определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора . Если бы это было не так, то векторы и не были бы перпендикулярными и равенство не выполнялось бы.

Таким образом, уравнение задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение вида задает эту же прямую. На этом первая часть теоремы доказана.

Теперь докажем, что всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида .

Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку , - нормальный вектор прямой a, и пусть - плавающая точка этой прямой. Тогда векторы и перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть, . Полученное равенство можно переписать в виде . Если принять , то получим уравнение , которое соответствует прямой a.

На этом доказательство теоремы завершено.

Уравнение вида есть общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.

Вывести уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом и уравнение прямой в отрезках на осях.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид , где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

Пусть прямая l не параллельна оси Оу (рис.1). Обозначим точку пересечения прямой l с осью Оу буквой В(О;в), а угол между положительным направлением оси Ох и прямой l обозначим угол, отсчитываемый от оси Ох против часовой стрелки () , называется углом наклона прямой l к оси Ох.

Выведем уравнение прямой l. Пусть М(х,у) – произвольная точка прямой l с текущими координатами х,у. Из прямоугольного треугольника ВМN (рис.1) имеем:  (1) 

Отсюда , или и окончательно где - Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой. Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Число в – это величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.

уравнение прямой в отрезках на осях вывод

Если известны точки пересечения прямой с осями координатами и . Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки .

В данном случае

Из этого уравнения легко получаем -

Это и есть уравнение прямой в отрезках на осях: параметр определяет точку пересечения прямой с осью , параметр с осью . Действительно, при х=0 получаем .

Вывести канонические уравнения прямой на плоскости,

Пусть - плавающая точка прямой a. Тогда вектор является направляющим вектором прямой a и имеет координаты . Очевидно, что множество всех точек на плоскости определяют прямую, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и : . Последнее равенство в координатной форме имеет вид

Если и , то мы можем записать

Полученное уравнение вида называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.

записать параметрические уравнения,

Уравнения системы называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.

вывести уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.???????

Выведем уравнение прямой a, которая в прямоугольной декартовой системе координат Oxy проходит через две несовпадающие точки и .

Нам известно, что каноническое уравнение прямой на плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор .

Напишем каноническое уравнение прямой a, проходящей через две заданные точки и .

Очевидно, направляющим вектором прямой a, которая проходит через точки М₁ и М₂, является вектор , он имеет координаты . Таким образом, мы имеем все необходимые данные, чтобы написать каноническое уравнение прямой a – координаты ее направляющего вектора и координаты лежащей на ней точки (и ). Оно имеет вид (или ).